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矩阵×可逆矩阵的秩
矩阵的秩
和它的
可逆
性有关系吗?
答:
如Am*n矩阵,另一矩阵B:1、A为满
秩矩阵
时,则r(AB)=r(BA)=r(B);2、A为行满秩矩阵时,则r(BA)=r(B);3、A为列满秩矩阵时,则r(AB)=r(B).A为满秩矩阵 那么A是
可逆
方阵 一方面有 r(AB) <= r(B)另一方面 r(B) = r(A^-1(AB)) <= r(AB)所以 r(AB) = r(B).A...
用
秩
证明
矩阵可逆
例题
答:
证明:AB为m×m
矩阵
,且其
可逆
,=> r(AB)=m.由r(A)、r(B)=r(AB)=m.所以,
秩
A=秩B=m
可逆矩阵
一定是满
秩矩阵
吗?
答:
可逆矩阵一定是满
秩矩阵
。满秩矩阵是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。若矩阵是满秩矩阵,则为n阶方阵,|A|≠0,即|A|是A的n阶非零子式,符合可逆矩阵只要求|A|<>0的条件,即为可逆矩阵。同时,
可逆矩阵的
行列式就是最高的不为零的子式(是n阶的),所以可逆矩阵也必然是满秩矩阵。
可逆矩阵
一定是满
秩矩阵
吗?
答:
可逆矩阵一定是满
秩矩阵
。满秩矩阵是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。若矩阵是满秩矩阵,则为n阶方阵,|A|≠0,即|A|是A的n阶非零子式,符合可逆矩阵只要求|A|<>0的条件,即为可逆矩阵。同时,
可逆矩阵的
行列式就是最高的不为零的子式(是n阶的),所以可逆矩阵也必然是满秩矩阵。
为什么a的
逆
是a
的秩
?
答:
特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n) 易得:若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。由定义直接可得n阶
可逆矩阵的秩
为n,通常又将可逆矩阵称为满
秩矩阵
, det(A)≠0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。由行列式的性质...
a
的秩
与a的
逆
的值有什么关系
答:
特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n) 易得:若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。由定义直接可得n阶
可逆矩阵的秩
为n,通常又将可逆矩阵称为满
秩矩阵
, det(A)≠0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。由行列式的性质...
为什么
矩阵
满
秩
就一定
可逆
呢?
答:
这是因为,方阵满秩时,可以使用初等行变换,化成单位矩阵(相当于使用一系列初等矩阵左乘矩阵,得到单位矩阵),从而可逆。矩阵非零子式的最高阶数叫做
矩阵的秩
。满秩说明整个矩阵的行列式不为零,所以可逆。n阶
可逆矩阵
,行列式不为0,各列向量线性无关,各列向量的秩是n, 即矩阵的秩是n, 矩阵满...
矩阵可逆
不应该是
秩
为3嘛,为什么答案秩为2?
答:
看清楚A,A是系数
矩阵
!且后两列完全相同!所以r(A)<3 同时,r(A~)=3,所以A的余下的两列是线性无关的,所以r(A)=2
为什么说
可逆矩阵
是满
秩
的
答:
n阶方阵
矩阵可逆
,则|A|≠0,即|A|是A的n阶非零子式,所以A
的秩
是n,即A是满秩阵。矩阵A为n阶方阵,若存在n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位阵,则称A为可逆阵,B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在,则称为
可逆矩阵
或
非奇异矩阵
,且其逆矩阵唯一。设A是n阶矩阵, 若r(A) = n, 则...
矩阵
B
可逆
,为什么AB
的秩
等于A的秩
答:
记住基本公式 r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min(r(A),r(B))即r(AB)小于等于r(A)与r(B)二者的最小值 现在B
可逆
,即B满
秩
,r(B)=n 同时r(A)≤r(B)代入不等式里,得到r(A)≤r(AB)≤r(A)即r(AB)=r(A)
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