第1个回答 2023-06-16
根据题目描述，我们有一个椭圆 x^2/12 + y^2/4 = 1，并且存在一个过椭圆焦点的直线，该直线与椭圆交于两个点 A 和 B。现在我们需要确定是否存在一个点 Q，使得向量 QA 与椭圆平面内的某个方向向量平行。
首先，我们需要找到椭圆的焦点和方向向量。椭圆的标准方程是 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴。
根据给定的椭圆方程 x^2/12 + y^2/4 = 1，可以看出 a = √12 和 b = 2。椭圆的焦点可以通过计算得到，焦点的坐标为 (±c, 0)，其中 c = √(a^2 - b^2)。
代入 a = √12 和 b = 2，可以计算得到 c = √8。
现在，我们已经知道了椭圆的焦点坐标为 (±√8, 0)。
接下来，我们需要考虑过焦点的直线与椭圆的交点。根据椭圆的性质，过椭圆焦点的直线与椭圆交于两个点，记为 A 和 B。
根据问题描述，我们需要确定是否存在一个点 Q，使得向量 QA 与椭圆平面内的某个方向向量平行。
如果存在这样的点 Q，那么向量 QA 必须与椭圆的切线方向平行。椭圆的切线方向可以通过求解椭圆方程的一阶偏导数得到。
对椭圆方程 x^2/12 + y^2/4 = 1 求偏导数，得到 2x/12 + 2y/4 * dy/dx = 0。
化简后可得 dy/dx = -6x/y。
因此，椭圆的切线斜率在任何点 (x, y) 处的斜率为 -6x/y。
如果存在一个点 Q，使得向量 QA 平行于椭圆的切线，那么斜率 QA 的斜率必须与切线的斜率一致。
现在，我们将这个问题转化为求解一个方程，即 -6x/y = QA 的斜率。
然而，由于缺乏具体的方向向量信息，无法进一步确定是否存在这样的点 Q。因此，根据当前的问题描述，我们无法确定是否存在一个点 Q，使得 QA 平行于椭圆的切线。