矩阵a~e说明a经过初等变换可以转化成单位阵，是不是可以说|a|=|e|=1？

Question

如题所述

Answer 1

是的. 左乘一个初等矩阵, 相当于对这个矩阵施行相应的初等行变换右乘一个一个三阶单位矩阵经过初等转换（比如说交换第2行与第3行的位置) 得到的追问

那是不是说所有可变换为单位阵的行列式的值都等于1呢？那干嘛还求行列式的值呢？

Answer 2

一般情况是: 若A经过初等变换化为矩阵B
则存在可逆矩阵 P,Q, 使得 PAQ = B.

当A是方阵时, 等式两边取行列式得 |P||A||Q| = |B|
由于P,Q可逆, |P||Q|≠0
所以 |A| 与 |B| 差一个非零倍数.
即存在k≠0, 使得 |A| = k|B|.

若B=E
则 |A| = k ≠0, 则 A 可逆, 但其行列式不一定等于1.本回答被提问者采纳

Answer 3

当然不对，初等变化有三类，其中第一类第二类不改变行列式的值，而第三类是改变的。追问

那就是说求行列式的值时，不能做第三类初等变换了？你说的第三类是哪一类？是行|列*常数加到另外的行列么？

追答

我指的是某一行或某一列提出公因式。
这里公因式提出必须保留在行列式外面，而不能像初等变换那样直接丢掉。