高中数学 什么是函数周期性

Question

最好有例题，讲解

Answer 1

已知a为常数，f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)
f(X)是否为周期函数？若是，求他的一个周期
这是一道老题，也是一道运用类比思想的好题。
解析：
f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)，看到这个条件你会想到什么？
我想大部分同学第一次遇到这个题会感到茫然，情理之中。下面先看这样一道题，
例， 已知a为常数，f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)+1)/(1-f(x))是否存在周期？存在的话是多少？
我想一见到这道题，同学们都会想到tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）。继而发生类比，至此可知例题中的函数周期是存在的，tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）的周期为 派，即4·派/4，这里 派/4相当于题中的a，可知例题中的函数是存在的，切周期为4a。
那么若把派/4换成-派/4，则tan（x-派/4）=（tanx-1）/（tanx+1），类比原题中的函数可知，原函数的周期是存在的，周期是tan（x-派/4）的周期，即 派。也就是
-4a，当然，4a也是它的周期之一。
解答完毕。
这道题还有其他方法，不过需要有很强的观察力才能想到上面方法。
至此我们知道，题来自书中，书中的概念，公式要熟记。也就是基础知识必须扎实。

函数的周期性

（一）概念

对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当< style='' > 取定义域内的每一个值时， 是函数的一个周期，故 是周期函数，假设 ，当 未必是函数的一个周期，但若 是函数的一个周期，而 任一有理数是 的周期，用数学归纳法易证 的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。

（5）周期函数的定义域至少是一方无界

因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。

（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数 ，假设 ，对任 代入上式，有

∵

于是 矛盾，故 是以T为周期的函数，证明

（1）对任意正整数 ， 的周期

（2） 的所有周期都是T的整数倍

注：若

证：

（1） 的任意一个周期，且 ，使 （ ，则

也是 与T的最小性矛盾，故 是数集A上的周期函数，则 有最小正周期T，则T也是函数 周期，则任 从而 的周期。

（2）由（1）知T也是 的最小正周期，则存在 是

即 的周期，且为正数，这与T是 的最小正周期

3. 函数 以 为最小正周期

证（ 充分性）设<0" > 是<1" style='width:27pt; > 的最小正周期，令<2" style= > ，则<3" >

∴ <4" style='width:81.75pt; >

∴ <5" style='width:4in; >

假设T不是 的周期，

则<9" style='width:317.25pt; >

即 的周期与已知 是 是数集B上的周期函数，且 ，则复合函数 为B上的周期函数。

证明：设T是 （ ）的周期，则对任意

即 为B上周期函数

推论：若 ， ， （ 仍为周期函数

（2）若T是

如 ，而 最小正周期 ， 是数集B上具有最小正周期T的函数，则T也是复合函数 的最小正周期。

证：由（1）T也是复合函数 的周期，即对任 有 ，即 与 （ ），则它们的和、差、积是A上以 ）为周期的周期函数

证：

但是，如果 与 分别是 的最小正周期，那么 与 的最小公倍数不一定是 与 的最小正周期都是 ，并不是 ，显然 的最小正周期

（5）对于定义在R上的函数 ），则 为一个周期的周期函数，反之，若 为函数 ，且 是以 ，那么 （ 数代换，令 代 代入 ，求证 ，求证 是定义在R上的函数，且 的值。

3. 已知函数 的任意一个值都有 是周期函数。

4. 对任意整数 ， ， ，求 在R上有意义，满足（1） ，（2） 为奇函数，试求 满足 ，且 在区间（0，10）内实根的个数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 9 D. 7

7. 定义在R上的偶函数 成立，且当 （ ）

A. C. D.

8. 设 是定义在实数集R上的函数，对一切实数 ，有 ，求证： ， ，其中， ，使 ，且 是以T为周期的函数。

10. 定义在实数集R上的函数 ，有

且 ，使 ，试问 与 是定义在实数集R上的函数，且满足条件

（1）对任何 （*）

（2） ，使 是否周期函数

12. 已知 上为奇函数（偶函数）试讨论1. 解：

（1）∵

∴

∴ （或 是周期函数，且2T是其一个周期；（2）若 是周期函数，且2T是其一个周期

， ，

的周期为8 ∴ 而

，

∴ ① 以 有 ，故 为以2T为周期的推论

注：若 是周期函数，且 是其一个周期

证：∵ 代 得4. 解：由 （如题3）

即6是

5. 解：∵ ，即 ∴

是一个周期为4的周期函数，则 为R上的奇函数，则

，

因此方程7. 解：由 以2为周期

当

当 ，当 时， ，则 ，故选C。

令∴ ∴ 以9. 分析：记 使 为以T为周期的函数

由

证：设 ，则

且

即 是以T为周期的函数，令 即将 得证

， 代换

由已知 ∴ 11. 证：在（*）中，令

由 知 ，在此式中令

又由（*）可知

∴ 是偶函数

∴ 又

得12. 证明：因 是 ，则必存在 ，若 上为奇函数，

即同理可证：若 为偶函数，则补充中心对称

证：设 （ ）

，又由

，故<img style="width:0px;height:0px" id="2" style='width:93.75pt; > ，故 在 上，反之同理可证。

以上有点高深 建议只看思想

Answer 2

就是一个函数在某一实数区间出现同样的趋势，或渐大或渐小，成周期出现

Answer 3

在数轴上的呈反复出现的图象