设随机变量X~E（1/2）,Y~E(1/3)相互独立，求随机变量Z=X+Y的概率密度

Question

如题所述

Answer 1

fY(y)=e^(-y/3)/3
fX(x)=e^(-x/2)/2
x,y独立
f(x,y)=e^(-x/2-y/3)/6
卷积
z>x
fZ(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx=e^(-z/3)-e^(-z/2),z>0
其他为0.
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卷积那部分可不可以详细点，我就是那个地方不明白，谢谢了，还有那个f(x,y)是怎么来的

追答

x,y独立

f(x,y)=fY(y)fX(x)
因为x+y=z
z-x=y
y>0,所以z-x>0,

fZ(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx=∫(0,z)e^(-x/2-(z-x)/3)/6dx=e^(-z/3)∫(0,z)e^(-x/6)/6dx=e^(-z/3)-e^(-z/2)

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Answer 2

X+Y~E(1/3+1/2)