第1个回答 2023-08-13
函数极限的保号性是指在一些特定情况下，如果函数在某一点处的极限为正（或负），那么在该点的某个邻域内函数的取值也将是正（或负）的。
具体说，设函数f(x)在点x=a的某个邻域内定义（不一定需要在a点本身定义），如果满足以下条件：
1. 存在一个点x=b（b可以是a点本身或是a点的邻域内的任意一点），使得f(x) ≥ 0（或f(x) ≤ 0）对于所有 a < x < b 成立；
2. 函数f(x)在x=a处的极限存在，即lim(x→a) f(x) = L，并且L > 0（或L < 0）；
那么可以得出结论，存在一个正数δ，使得当 0 < |x-a| < δ 时，f(x) > 0（或f(x) < 0）。
换言之，函数在极限点附近的某个邻域内，函数的取值仍然保持着和极限点处相同的符号。这个性质被称为函数极限的保号性。
保号性的直观解释是，如果函数在某一点处的极限为正（或负），那么足够靠近该点的函数值也会趋近于正（或负）。这可以帮助我们对函数的性质和变化进行分析和研究。
需要注意的是，保号性只适用于函数在某一点处的极限，而不一定适用于整个定义域范围内。此外，保号性的条件是一个充分条件，不是必需条件。也就是说，如果函数在某一点处的极限为正（或负），不一定意味着在任何邻域内函数的取值都是正（或负）的。因此，在具体问题中还需要仔细分析和判断。
希望这能帮到您理解函数极限的保号性。