求一道信号与系统的习题解答

Question

信号x[n]给出下列信息，
（1）是实偶信号；
（2）有周期N=10和傅里叶级数a（k）；
（3）a（11）=5；
（4）0.1∑|x[n]|^2=50 (∑: n从0~9)
证明x[n]=A*cos(B*n+C)，求A，B，C的值。

Answer 1

X[n]=10*cos((π/5)*n),A=10,B=π/5,C=0.π是数学中弧度‘派’的意思。
具体步骤：利用离散周期信号的傅里叶级数性质，
X[n]是实偶信号，说明a（k）=a（-k），周期N=10，说明a（k）=a（k+10）。a（1）=a（-1）=a（9）=a（11）=5，
由帕斯瓦尔定理推出∑|a（k）|^2=50，(∑: n从0~9)，说明在0~9之间，只有a（1）=a（9）=5，其他系数全是0.
所以X[n]=5exp(jnπ/5)+5exp(-jnπ/5)=10*cos((π/5)*n)

Answer 2

实偶信号,所以a(k)=a(N-k)也实偶,所以a(11)=a(-1)=a(-1+N)=a(2N-1)=5,即a(1)=5,a(9)=5,这2项是共轭的，加起来=10*cos((π/5)*n)，0.1∑|x[n]|^2=50 =1/N∑|x[n]|^2,可见序列的功率=50，而10*cos((π/5)*n)的功率=有效值的平方=100/2=50,说明除了10*cos((π/5)*n)外没有其他谐波分量，因此A=10,B=π/5，C=0

Answer 3

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