大学概率论与数理统计题目

Question

某急救电话调度中心，平均每小时接到4次急救电话。已知每个急救电话都需要派遣一辆救护车应对，且每辆救护车一小时内只能出动一次。试求在每小时开始时至少有多少辆救护车就位，才能使接到急救电话时无救护车可用的概率降低到1%以下？

Answer 1

解：根据二维随机变量联合分布的定义，有f(x,y)=1/SD，(x,y)∈D、f(x,y)=0，(x,y)8713;D，其中SD是区域D的面积。
而，SD=1/π，∴f(x,y)=1/π，D={(x,y)丨-1≤x≤1，-√(1-x^2≤y≤√(1-x^2)}、f(x,y)=0，(x,y)∈8713;D。
∴fX(x)=∫(-√(1-x^2,√(1-x^2)f(x,y)dy=(2/π)√(1-x^2)；同理，fY(y)=(2/π)√(1-y^2)，∴f(x,y)≠fX(x)*fY(y)。∴X、Y不相互独立。
又，E(X)=∫(-1,1)xfX(x)dx=(2/π)∫(-1,1)x√(1-x^2)dx=0、E(X^2)=∫(-1,1)x^2fX(x)dx=(4/π)∫(0,1)(x^2)√(1-x^2)dx=1/4，∴D(x)=1/4；同理，E(Y)=∫(-1,1)yfY(y)dx=0、E(Y^2)=∫(-1,1)y^2fY(y)dy=1/4，D(Y)=1/4；E(XY)=∫(-1,1)dx∫(-√(1-x^2,√(1-x^2)xyf(x,y)dy=0，
∴ρXY=[E(XY)-E(X)*E(Y)/[D(X)*D(Y)]^(1/2)=0。综上所述，X、Y不相互独立，亦不相关。供参考。