两角和与差的正弦函数怎么推导出来的 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

Question

如题所述

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答：
两角和的正弦与余弦公式：
（1）
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
（2）
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
教材的思路是在直角坐标系的单位圆中，
根据两点间的距离公式推导：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
再用诱导公式证明：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。
则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。
∵
OA=OB=OC=OD=1
∴
CD=AB。
∵
CD2=[cos（α+β）-1]
2+[
sin（α+β）-0]
2；
=cos2（α+β）-
2cos（α+β）+1
+
sin2（α+β）；
=2-2
cos（α+β）。
AB2=（cosα-cosβ）2+
（sinα+sinβ）2；
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+
sin2β；
=2-2[cosαcosβ-
sinαsinβ]。
∴
2-2
cos（α+β）=2-2[cosαcosβ-
sinαsinβ]。
∴
cos（α+β）=cosαcosβ-
sinαsinβ
∴
sin（α+β）=
cos（90°-α-β）
=cos[（90°-α）+（-β）]
=cos（90°-α）cos（-β）-
sin（90°-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ