曲线拟合法的理论与分析

Question

如题所述

Answer 1

曲线拟合法沉降预测是将地基沉降近似看成按某种特定的曲线规律来变化的过程，对实测沉降数据进行拟合，建立某种与之相适应的曲线模型，采用适当的优化方法，反推出计算公式中所需要的参数，确定回归公式，再运用于后期的沉降预测和最终沉降预测。该类方法参数较少宜确定，在工程中得到了广泛的应用。目前常用的曲线拟合法有指数曲线配合法（三点法）、星野法、Asaoka法、沉降速率法、双曲线法、指数曲线法、“S”形成长曲线模型等^[103][157]。

5.2.1.1 指数曲线配合法（三点法）

指数曲线配合法由曾国熙于1959年提出^[103]。该方法是从实测的沉降—时间曲线上选择最大恒载时间段内的任意三个时间点t₁，t₂，t₃，其对应的沉降量分别为S₁，S₂，S₃，使Δt=t₃-t₂=t₂-t₁，可得地基土层最终沉降量S_∞为

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该方法计算简单，但一般要求观测资料持续时间较长，实测沉降曲线基本处于收敛阶段才可进行。该方法的缺点是选取的沉降点不同，计算结果迥异，使结果的准确性大打折扣。

5.2.1.2 星野法

星野根据现场实测值证明了固结沉降是时间平方根的函数，t时刻地基的总沉降S_t为

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式中：S_t为随时间t变化的总沉降量，当t→∞时，可得最终沉降量S_∞；S_ct为随时间t变化的固结沉降量；S_d为假定的瞬时沉降量；t_d为假定的瞬时沉降时的时间；t为经过的时间；A，K为待定参数，由图解法确定。

利用星野法预测路基沉降的关键是调整假定的瞬时沉降点（t_d，S_d），使得回归分析的点正好落在一条直线上。该方法是一个反复作图的过程，产生的误差相对较大。

5.2.1.3 Asaoka 法

Asaoka法也称浅岗法，是Asaoka^[158]提出的一种从一定时间所得的沉降观测资料来预计最终沉降量和沉降速率的方法。根据沉降和应变的关系，t时刻地基的总沉降量S_t可以近似地由级数形式的高阶微分方程表示：

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式中：a₁，a₂，…，a_n，b为取决于固结系数和土层边界条件的常数。

实测沉降—时间曲线可以分离成：t_j=j·Δt，j=1，2，3…，且Δt为常数，S_j为时间t_j时的沉降量，式（5.3）可以用n阶递推关系表示为

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由于高阶微分迅速减小，第一阶近似就能满足工程精度的要求。式（5.4）可简化为

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根据实测沉降资料作图可以确定待定参数β₀，β₁和最终沉降量S_∞=β₀/（1-β₁）。Asaoka法属于图解法，Δt的取值对最终沉降量的推算结果有直接影响。此外，由于上述计算只考虑了沉降的一阶导数，故得到的最终沉降量不包括次固结沉降。

5.2.1.4 双曲线法

双曲线法认为沉降量与时间按双曲线的形式递减，其基本方程为

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式中：S_t为t时刻的沉降量；S₀为预压期中任意时刻t₀对应的沉降量（一般选择路堤填筑结束后的第一个观测点的时间和沉降数据）；a，b为待定系数，可通过建立线性回归方程利用最小二乘法求解。

将得到的a，b，S₀，t₀代入式（5.6），即可求得任意时刻t地基的沉降量S_t，且当t→∞时，最终沉降量为

。

5.2.1.5 指数曲线法

假定地基荷载稳定后，沉降按指数曲线规律变化，其基本方程式为

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令t_m=t+Δt/2，将式（5.7）对t求导后，写成增量的形式为

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对式（5.8）两边取自然对数，并令

，

，

，可得：

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在实测沉降曲线上确定拐点值（t₀，S₀）和（

，y_i）点，对这些点进行线性拟合，并利用最小二乘法求出参数A，B，进而求出a，b，且当t→∞时，最终沉降量为S_∞=S₀+a。

5.2.1.6 S 形成长曲线模型

如果时间序列的发展具有一定的“成长”过程，即经历一个出现、发展、成熟或衰亡的过程，对于具有这种演变趋势的预测目标，则可以运用成长曲线模型进行预测^[196]。这种模型是依据一定的演变理论为前提推导出来的，所以往往能够比前述简单的时间序列模型提供更精确的预测。在软土地基沉降预测方面，大量现场实测沉降—时间曲线分析表明，全过程的地基沉降量与时间的关系曲线呈S形，而且在荷载逐步增加的过程中，沉降观测点逐步发生沉降的过程可以分为以下4个阶段^[157]，如表5.1所示。

表5.1 地基沉降随时间发展的阶段特征

常用的S形成长曲线模型及其表达式如表5.2所示。

鉴于S形成长曲线的特征和沉降随时间的变化规律十分相似，可以利用S形成长曲线模型对软土地基沉降进行预测分析。本书选取典型的Pearl模型（Logistic模型）为例，讨论Pearl曲线在沉降预测中的建模、求解过程。

表5.2 常用的S形成长曲线模型

注：S（t）为随时间变化的函数；t为时间；a，b，L，r为参数。

（1）等时距Pearl曲线模型

Pearl曲线模型要求建模数据必须是等时距的，等时距Pearl曲线模型的表达式为

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式中：S（t）为t时刻沉降量的预估值；t为等时距时间序列的时间序号；a，b，L为模型的参数，均大于0，其中a为无量纲数，b的单位为时间的倒数，L的单位同沉降量的单位。

Pearl曲线模型参数的求解采用三段估计法，设地基沉降的等时距时间序列为{S（t）|t=1，2，…，n}，即{S（1），S（2），S（3），…，S（n）}，将时间序列分为3段，每段有r=n/3 项。

如果自变量时间t的时间间隔相等、时间长短相等、前后连续，符合等间隔时间序列，将时间t从1 开始编号，即取t=1，2，3，…，n。时间序列分为3 段，第1 段为t=1，2，3，…，r；第2 段为t=r+1，r+2，r+3，…，2r；第3 段为t=2r+1，2r+2，2r+3，…，3r。

设S₁，S₂，S₃分别为这3个时间段内对应的各项S（t）值的倒数之和，即

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将等时距Pearl曲线模型的表达式改写为倒数形式为

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利用级数求和公式，可求得式（5.11）为

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由式（5.13）可以解出Pearl曲线模型各参数a，b，L的计算通式。将求得的参数代入式（5.10）中，即可对地基的沉降量S（t）（t= 1，2，3，…，n）进行等时距预测。

（2）非等时距时间序列的等时距变换

由于Pearl曲线模型要求建模数据必须是等时距的，如果实测沉降数据是非等时距的时间序列，则需将其变为等时距时间序列，才能运用等时距Pearl曲线模型进行预测。

将非等时距沉降时间序列进行等时距变换一般采用插值法来完成，常用的插值方法有：Lagrange插值法、Aitken 插值法、Neville 插值法、Newton 插值法、Hermite 插值法、分段多项式插值法及样条插值法等^[197][198]。如果既要克服高次多项式插值的 Runge现象，又要保证插值函数的连续性和光滑性，最常用的是三次样条插值法（Spline）^[198]。本书将采用三次样条插值法（Spline）对非等时距实测沉降—时间序列进行插值处理，以得到等时距的序列。

假设从原始沉降—时间观测曲线上读取的n+1个点为（t_i，S_i），且S_i—t_i满足函数关系S_i=f（t_i），（i=0，1，2，…，n）。如果t_i∈ [a，b]，且有a=t₀＜t₁＜t₂＜…＜t_n=b，存在函数F（t_i）=S_i在每个子区间 t_i，t_i+1[ ]（i=0，1，2，…，n-1）上都是不超过三次的多项式，F（t），F＇（t），F″（t）在[a，b] 上连续，那么，函数F（t）就是被插值函数f（t）在插值节点t₀，t₁，t₂，…，t_n上的三次样条插值函数。

由于函数F（t）在每个子区间[t_i，t_i+1] 上都是三次多项式，可设其表达式为

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F（t）有4n个待定系数，为保证F（t）及其导数F＇（t），F″（t）在[ a，b ] 上连续，只需它们在各子区间的分界点处连续即可，因此，待定系数共满足4n-2个条件：

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为了保证样条插值问题解的唯一性，应另外给出边界条件，常见的边界条件有三种：

a.自然边界条件F″（t₀）=0，F″（t_n）=0；

b.周期边界条件F＇（t₀）=F＇（t_n），F″（t₀）=F″（t_n）；

c.固定边界条件F＇（t₀）=f＇（a），F＇（t_n）=f＇（b）。

根据待定系数满足的上述条件，利用F（t）在节点处的二阶导数值m_i=F″（t_i）来求解待定系数。利用Lagrange线性插值公式有

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式中：h_i=t_i+1-t_i，（i=0，1，2，…，n-1）。

对F″（t）积分两次，由F（t_i）=S_i和F（t_i+1）=S_i+1确定积分常数，可得三次样条表达式：

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这里m_i为未知数，为了确定m_i，对F（t）求导得：

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由此可得：

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同理，在子区间[t_i-1，t_i]可得：

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因为F＇（t_i+0）=F＇（t_i-0），所以有：

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式中：μi =h_i-1/（h_i-1+h_i），λ_i=h_i/（h_i-1+h_i），（i=0，1，2，…，n）。

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a.对于自然边值条件，可得：

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令λ₀=1，

，μ_n=1，

，那么，式（5.21）、（5.23）可以写成矩阵的形式：

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b.对于周期边值条件，可得端点方程：

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如果令λ₀=μ_n=0，d₀=

，d_n=

，则式（5.21）、（5.25）也可写成式（5.24）的矩阵形式。

c.对于固定边值条件，可得：

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式中：λ_n=h₀/（h_n-1+h₀），μ_n= 1-λ_n，d_n= 6 （f[t₀，t₁]-f[t_n-1，t_n]）/（h_n-1+h₀）。

式（5.21）、（5.26）可以写成如下矩阵形式：

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求三次样条插值函数的步骤为

1）计算h_i=t_i+1-t_i（i=0，1，…，n-1），及μ_i，λ_i（i=1，2，…，n-1）；

2）由式（5.21）结合给定的边界条件得出确定m₀，m₁，…，m_n的方程组，并求解；

3）将m_i（i=0，1，…，n）代入式（5.17）即可得到F（t）的分段表达式。

5.2.1.7 曲线拟合方法对比及分析

综合对比分析以上各种不同类型的曲线拟合法对实测沉降—时间曲线的数据要求、计算模型及模型参数求解方法、是否考虑次固结沉降等因素，各种方法的适用条件汇总于表5.3。

表5.3 各种曲线拟合法预测沉降的适用性对比

由表5.3可知，各种曲线拟合方法对实测沉降—时间曲线上数据点的要求不尽相同，而且不同模型中待定参数的求解方法也不同，由此而引起的预测误差也是不一样的。三点法和图解法求参，受人为因素影响较大；而最小二乘法和三段估计法求参，相对较准确和稳定。此外，双曲线法、指数曲线法和 S 形成长曲线可以考虑地基次固结沉降，而三点法、星野法和Asaoka法将次固结沉降忽略。由于本书的研究对象为淤泥土，有蠕变现象，因此，本章将选取考虑次固结沉降的双曲线法、指数曲线法和 Pearl 曲线模型对温州浅滩灵霓海堤软土地基的沉降进行预测分析。

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