已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A...

Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A，B两点，且|AB|=4． （Ⅰ） 求此抛物线的方程； （Ⅱ）若过点Q（2，0）的直线交抛物线于C，D两点，若存在另一动点G，使得直线GC，GQ，GD的斜率依次成等差数列，试说明动点G一定在定直线上．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵过F作垂直于x轴的直线交此抛物线于A，B两点，且|AB|=4．∴2p=4，p=2
∴抛物线的方程为y2=4x
（Ⅱ）设C（x1，y1），D（X2，Y2）

设过点Q（2，0）的直线方程为x=ky+2，由y2=4xx=ky+2得y1+y2=4k，y1y2=-8

设G（x0，y0），kGC+kGD=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=y1-y0ky1+(2 -x0)+y2-y0ky2+(2 -x0)
=-16k-4k2y0+4k(2-x0)- 2 (2-x0)y0-8k2+4k2(2-x0)+ (2-x0)2①

kGQ=2y0x0-2②，

化简得x0=-2

所以动点G一定在定直线x0=-2上．