S=(1/6)n(n+1)(2n+1)。
推导过程：
设S=1^2+2^2+....+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
扩展资料：
数列求和方法
1、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。
2、拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。
3、错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。
4、倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导。