欧拉公式的内容如下:
欧拉公式的定义:
在任何一个规则球面地图上,用R记区域个数,V记顶点个数,E记边界个数,则R+V-E=2,这就是欧拉定理。
它于1640年由Descartes首先给出证明,后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明,称其为欧拉定理,在国外也有人称其为Descartes定理。R+V-E=2就是欧拉公式。
欧拉公式数学归纳法:
设R=m(m≥2)时欧拉定理成立,下面证明R=m+1时欧拉定理也成立。由说明2,在R=m+1的地图上任选一个区域X,则X必有与它如此相邻的区域Y,使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后,地图上只有m个区域了。
在去掉X和Y之间的边界后,若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点,则该顶点保留,同时其他的边界数不变;若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点,则去掉该顶点,该顶点两边的两条边界便成为一条边界。
欧拉公式复变函数及公式的证明:
欧拉公式复变函数:
把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它不仅出现在数学分析里,而且在复变函数论里也占有非常重要的地位,更被誉为“数学中的天桥”。
欧拉公式的公式的证明:
这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π;两个单位:虚数单位i和自然数的单位1;以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。