已知P是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的焦点．...

Question

已知P是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的焦点．若△PF1F2的周长为6，椭圆的离心率为12，求椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离．

Answer 1

解：∵P是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的焦点．
△PF1F2的周长为6，椭圆的离心率为12，
∴e=ca=12，∴a=2c，
P在椭圆上，由椭圆性质|PF1|+|PF2|=2a，
∴△PF1F2的周长=2a+2c=6，
∴a+c=3，a=2，c=1，∴b2=4-1=3，
∴椭圆方程为x24+y23=1．
设P（2cosθ，3sinθ）（0≤θ＜2π）是椭圆上任意一点，F2（1，0），
则|PF|=(2cosθ-1)2+(3sinθ)2
=4cos2θ+3sin2θ-4cosθ+1
=cos2θ-4cosθ+4
=(cosθ-2)2
=|cosθ-2|≥1．
当且仅当cosθ=1时，|PF|取最小值1．
∴椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离是1．