“从前有一棵树，叫高数，上面挂了许多人，在拉格朗日的照耀下......”
相信广大同学（萌新）们已经考完了高数的期中考试了，是不是很酸爽？无论你是为自己的成绩欣喜还是懊恼，相信你一定体验到了高数的博大精深和毁人不倦。各种意想不到的技巧和考验耐心的计算是否让你颤抖呢？mori君作为北大教授的志愿者辅导了一些其他院系学习高数的同学后，发现同学们都能不同程度地提高成绩，下面就是满满的干货和经验：
改什么--学习模式
相信同学们一定感觉到大学数学的节奏快、内容多，完全不同于中学的模式。按照多数学校的进度和大纲，短短半个学期就讲完序列、函数极限，连续性，一元微分了；考试不仅覆盖所有讲过内容，而且老师也不太会额外划重点--所有的练习，复习和检测都要自己完成。同时，习题课、作业和测验的题量之和远不及中学的刷题比例。
在这样的情况下，同学们要快速转换学习的模式，课后自己找习题刷，并定期地检测自己是否清楚地理解了教学内容；最好的办法是，每次课结束当天马上趁热打铁，做题实战。
学什么--思维能力
对于数学系的同学，教学训练的重点是抽象、严谨的演绎能力；但对于非数学专业的同学，学习高数的目的并不是让你成为数学家，而是在习得基础数学工具的基础上体会数学思维方式。因此区别于《数学分析》课程，高数删减了对理论的详细证明，加强了形象思维和计算能力的训练。
具体来说，高数的计算量较大，对几何图像的直观想象要求较高，这些在数学分析课程中则并不非常强调--比如一个具体的积分技巧，一个具体的三维几何体的大致形状，一些级数求和的巧妙方法，一个套公式解不出但变形后可解的微分方程等等。
不过虽然不强调理论，但很多同学直接忽视了最基本的定义和定理证明过程，这是非常危险的。经典例子是很多同学会算极限但完全遗忘了epsilon_delta定义，也不会证明一个极限成立。事实上定义和定理才是数学框架的精髓，所有的技巧和习题都是它们的延伸应用。长此以往，各种数学对象的概念会模糊，到最后就寸步难行了。
因此，强烈推荐大家每次做题前先将书上的理论框架完全搞清，列出重要的对象和定理，隐去定义和证明内容，自行推理建立一遍书上的体系。哪些证明不要求，证明步骤的先后顺序等等细节务必完全落实。这时你会发现，“只有足够努力，才能看似毫不费力”--老师在课堂上的推导看似非常顺畅，但自己做就难多了。这个过程中，最佳方式是找同学互相讲解和提问，直到大家都能对答如流为止。在此之后，做习题就会轻松很多。
练什么--深度习题
做题一直是使同学们苦恼的事情。在数学中，“书全看懂，题不会做”是非常正常的事情。mori君在《数学专业的真相》一文中也提到了，看已有的内容只是看工具的说明书，而做未知的内容是要拿工具打造艺术品，难度当然相差甚远。解决具体问题的技能、技巧只有通过大量的操练才能习得，就像语言的习得必须开口应用一样。
一开始请务必先认真地把教材后的所有习题做完。一般老师课上布置的作业是从教材中选一些习题，但自己做的时候最好将课后每一题都认真地做一遍。这里要提醒大家的是，解数学题一定要“做到底”，不论计算还是证明，一定要试着书写完整的步骤和过程。在数学中因为跳过一些看似“显然”的步骤而造成严重错误的例子屡见不鲜；很多同学常常看到某题“我会算”就不做了，等上考场现场算就很难做对了。如果你对自己的一些过程没有把握，就拿给助教或老师看，相信他们一定非常乐意帮助你。
这里可以再为大家推荐一些习题秘籍。如果你做完教材习题学有余力的话，可以先看一些考研高数数学的习题辅导书，比如张宇老师的《高等数学18讲》等，但事实上这些书相当清晰，应试也很管用，因为考研数学的技巧和区分度还是比较高的。
如果这些仍然满足不了你的学霸气质的话，那么可以开刷著名的吉米多维奇《数学分析习题集》与菲赫金哥尔茨《微积分学教程》。前者出版了详细题解，而后者不仅是一本完整的教材，作者还把每道例题的细致分析都写在了正文中。这两部经典可以说是古典微积分技能的顶峰，配合食用十分酸爽，即使是数学系的同学也很少有能啃完者。
想什么--具体例子
很多同学会感到高数的内容十分抽象或难于理解，其实这是学习数学所共有的感觉：越强大和高级的数学就越抽象。一个极佳的方法是：拿很多具体的例子来检验和尝试。这一想法很多大数学家也屡屡强调，很多看似玄奥高深的理论，有了一些经典和具体的例子就十分易于接受和理解。
比如学闭区间上的连续函数有种种好的性质，那么你就可以尝试构造各种开区间上的反例：无界，取不到最值，无法一致连接......具体感知了很多这样的例子后，你就会抓住闭区间与连续性的关联和内涵。在多元函数、级数中，大量病态的例子更加必不可少，这些都可以帮助你找到条件的关键点。在解题的时候，大数学家常常是先拿很多经典的例子去试，尝试找一个反例，试过很多例子后往往就能找到正确的解决途径。
至于形象思维更是需要丰富的具体实例，各种直线，平面和二次曲面的位型关系直接决定了多元微积分的能力。在几何想象力上，老师几乎没有办法培养和训练，一个最好的办法或许就是把很多二次曲面的具体“长相”放在脑海中想象；熟练后不断地拿各种平面、曲面去截，想象它们的形状。对于这种练习，有一个非常棒的网络工具就是wolframalpha，这个网站不仅能计算导数，积分，部分分式，还可以进行各种角度的3D作图，简直是学习高数人见人爱，必不可少的帮手了~
原文链接：
https://www.zhihu.com/question/51567021/answer/555227214