问:是什么使您以数学为职业的?
答:我记得大概是从七、八岁时起喜欢数学的。在中学里, 我常做一些高年级的题目。那时,我寄宿于Nimes,与比我大的孩子住在一起,他们常常欺侮我,为了平抚他们,我就经常帮他们做数学作业。这是一种最好的训练。 我母亲是药剂师(父亲也是),并且喜欢数学。在她还是Montpellier大学的药剂学学生时,只是出于兴趣,选修了一年级的微积分课,且通过了考试。她精心保存了当年的微积分课本(如我没记错的话,是Fabry和Vogt写的
)。在我十四、十五岁时常翻看它们并学习其中的内容。我就是这样知道了导数、积分和级数等(我采用一种纯形式的方式----可以说是Euler风格: 我不喜欢也没弄懂ε和δ。那时,我一点也不知道做数学家可以谋生。只是到后来我才发现做数学也有报酬!我首先想到的是我将成为一个中学教师:这在我看来是自然的。于是,在十九岁时,我参加了高等师范学校的入学竞争考试并取得了成功。一进“高师”,事情就清楚了,中学教师并不是我要干的,我要的是从事研究的数学家。
问:您对其他学科,像物理或化学,是否有过兴趣?
答:对物理不怎么感兴趣,但对化学有兴趣。我说过,我双亲是药剂师,所以他们有很多化学药品和试管。我十五、十六岁时,在做数学之外,经常摆弄它们。我还读了父亲的化学书(我至今还留有一本很吸引人的Jacques Duclaux著的《胶体》(Les Colloides))。然而,在学了更多的化学后,我对其几乎数学化的外表感到失望:有同系物的有机化合物,如CH_4、 C_2H_6等,看起来差不多都一样。我想,如果你不得不跟同系物打
交道,还不如做数学的好!於是,我放弃了化学----但并不彻底:我最后与一位化学家结了婚。
问:是否有中学老师对您数学产生过影响?
答:我只有过一位很好的老师。那是在Nimes,我中学的最后一年(1943--1944)。他有个绰号叫“胡子”(Le Barbu): 那个时候留胡子的人很少, 他的条理非常清楚,要求也很严格; 它要求把每个公式和证明都写得简洁明了。为了参加名为“中学优等生会考”(Concours General)的全国数学竞赛,他对我进行了全面的训练,使我得了头奖。 说到“中学优等生会考”,我还试着参加了那年(1944)的物理竞赛。我们要做的题目完全基于一个我应该知道的物理法则之上,可我并不知道该法则。幸好,在我看来只有一个公式可能是对应那个法则的。我假定它是正确的,在此基础之上,做了整整6小时的题目。我甚至以为可以得奖了。不幸的是,那个公式是错的,我什么也没得到----这正是我应得的!
问:在发现定理时灵感具有怎样的重要性?
答:我不知道“灵感”的确切含意是什么。定理和理论是以很富趣味性的方式产生的。有时,你只是对已知的证明不满意, 力图寻求更好的证明,使之可以用于各种不同的情形。拿我来说, 一个典型的例子是在我做Riemann-Roch定理的时候(大约是1953年),我把它看成是某种“Euler-Poincare”公式(我那时还不知道Kodaira和Spencer已经有同样的想法)。我的第一个目标是对代数曲线的情形给出证明----这情形一个世纪前就知道了!但
我想要一个独具风格的证明。而当我没法找到这样的一个证明时,我记不得费什么功夫就可以过渡到二维的情形(正好小平邦彦也已这样做了)。六个月以后,Hirzebruch证明了完整的结果,并发表在他著名的获取教师资格的论文里。 通常,你不是采取正面攻击的方法,来尝试着解决一个特定的问题。而是,你心中有了些想法,觉得它们应该有用,但又不确切地知道可用在何处。于是,你四处寻找,试图应用它们。就像你有一串钥匙,在好几个门上试开。
问:您是否有过这样的经验,就是您有一个问题解决不了, 当把它搁一段时间以后,一个突然出现的想法导致了该问题的解决?
答:是的,这种情况当然经常发生。例如,在我做同伦群方面的工作时(~1950),我自信:给定空间X,必存在一个以X为基底的纤维空间E,它是可缩的。这样一个空间的确可以使我(用Leray的方法)做许多同伦群和Eilenberg-MacLane上同调的计算。但怎么找到它呢?我花了好几个星期(在我那个年纪, 这是很长一段时间了),才意识到X上的“路径”空间就是具有所有必需的性质----只是我改称它为“纤维空间”。我这样做了,
这就是代数拓朴中环路空间(loop space)方法的出发点:许多结果很快就跟着出现了。
问:您经常是一次只做一个问题,还是往同一时间里做许多问题?
答:通常是一次只做一个问题,但也并不总是这样。我经常在夜间(似睡非睡到一半状态)工作,那个时候你不需写任何东西,这使你的脑子更集中,并易于转换课题。
问:在物理学里,许多发现源于偶然事件,像X-射线、宇宙本底轴射的发现等等。在数学中,您是否有类似的经历?
答:真正的偶然事件是绝少的。有时,你会感到惊讶,因为你为某种目的进行的论证恰好解决了另一方向的问题。然而,这称不上是“偶然事件”。
问:代数几何和数论的中心问题是什么?
答:这我回答不了。你知道,有些数学家有着清楚的、目标远大的“纲领”。例如,Grothendieck对代数几何有一个这样的纲领;而Langlands则有一个与模形式(modular form)和数论有关的表示论的纲领。我从没有这样的纲领,就是小范围的也没有。我只是做我立时感兴趣的事情。(眼下我最感兴趣的课题是计算有限域上的代数曲线中点的个数。这是一种应用数学:你可以试着去应用代数几何和数论中你所知道的任何工具……,但做这件事不会十分顺利!)
问:您认为代数几何或数论在过去五年内最大的进展有哪些?
答:这比较容易回答。首先想到的是Faltings对Mordell猜想和Tate猜想的证明。还要提到Gross-Zagier在二次域的类数问题上的工作(基于Goldfeld先前的一个定理),以及用模曲线(modular curve)得到的Iwasawa理论中的Mazur-Wiles定理。 (模曲线和模函数在数论中的应用特别使人振奋:可以说是用GL_2来研究GL_1!很清楚这个方向将会涌现出许许多多的玩意… …,甚至有朝一日会得到黎曼猜想的证明!)
问:有些科学家在一个领域做了基础性工作后,很快就转到另一个领域。您在拓朴学上工作了三年,然后做别的东西。这是怎么回事?
答:这里有一条连续的路径相联,而非跳跃式的变异。 1952年,在完成了关於同伦群的论文后,我到了普林斯顿 (Princeton),在那里讲我的论文(及其续篇“C-理论”)并参加了关于类域论的有名的Artin-Tate讨论班。 尔后我回到巴黎。那里的嘉当(Cartan)讨论班正在讨论多个复变量的函数和Stein流形。结果发现用上同调和层的语音,可以更有效的表示(以及更简单的证明)Cartan-Oka之新近的结果。这是很振奋人心的,我在此课题上工作了一个短时间,把Cartan 理论应用于Stein流形。然而,多复变量的一个十分有趣的部分是射影簇(仿射簇的对立物--仿射簇在几何学家看来有点病态) 的研究;因而,我开始用层论来处理这些复射影簇:在1953年, 我就是这样得到了围绕Riemann-Roch定理的一系列有关想法。 但射影簇都是代数的(周纬良(Chow)定理),用完全可能含许多本性奇点的解析函数,来研究这些代数对象是有点不自然。很清楚,利用有理函数应该就够了----事实也正如此。这使我(1954年左右)进入代数闭域上的“抽象”代数几何。但为什么要假设域是代数闭的呢?对诸如Weil猜想之类来说,有限域更使人激动,且从那儿到数域有很自然的转换……。这大约就是我 所走过的道路。 另一个方向的工作来自我和Borel的合作(及友谊)。他告诉了我他对李群(Lie群)的独到的见解。这些群和拓扑、代数几何、数论……的联系非常迷人。我只给你们举一个例子(这是我在1968年左右意识到的): 考虑SL_2(R)的最明显的离散子群\Gamma=SL_2(R)。可以算出它的“Euler-Poincare示性数χ(Γ),等于-1/12(它非整数,是因为Γ是有挠的)。但-1/12恰好是Riemann-Zeta函数在点S=-1的值ξ(-1)(欧拉知道的结果),这并不是巧合!它可以推广到任意的完全实数域K的情形,并可用来研究 ξ_K(-1)的分母。(正如后来所发现的那样,利用模形式可得到更好的结果。)这类问题不是群论的,不是拓朴学的,也不是数论的:它们只是属于数学。
问:数学中各种各样的领域达到某种统一的前景如何?
答:我想说这种统一已达到了。上面我已经给出了Lie群、 数论等等互依互存、不可分离的典型例子。我再举个这样的例子(可以容易地举出根多): 最近,S.Donaldson证明了一个关于四维紧致 可微流形的优美定理。此定理说这种流形的(H^2上的)二次型受到严格的限制:如它正定,则是平方和。证明的关键是构造作为某个(自然是非线性的)偏微分方程的解集的某一辅助流形(一个“配边”)! 这是分析在微分拓朴中的全新应用。使之更引人瞩目的是若去掉可微性假设,则情况完全不同:根据M. Freedman的定理,此时H^2-二次型几乎可以是任意的。
问:怎样才能跟上数学知识爆炸的形势?
答:你实在没有必要去跟。在你对某个特殊问题感兴趣时, 你会发现只有很少已有的工作与你相关。若有些东西确实有关, 你会学得非常快,因为你心中有一应用的目标。经常翻阅《数学评论》(特别是数论、群论等方面的合订本)也是个好习惯。你也能从你的朋友那里学到许多:人家在黑板上向你解释一个证明要比你自己去研读它容易。 更令人担心的问题是那些“大定理”,这样的定理即非常重要又长得无法去验证(除非你把生命中可观的时间花在上面……)。典型的例子是Feit-Thompson定理:奇数阶群是可解的。(Chevally曾把它作为讨论班的课题,打算给它一个完全的阐述。 两年后,他不得不放弃了。)如果不得运用这样的定理,我们该怎么办呢?诚心接受?也许可以,但这不是很舒服的事情。 对有些课题,主要是微分拓朴中的,我也觉得不舒服。在那里,作者先画一个很复杂的(2维)图形。然后,要求你接受它是5维或者更高维情形的一个证明。只有专家才能“看出”这样一个证明是对的,还是错的----如果能称其为证明的话。
问:您对计算机将往数学发展中产生的影响有何想法?
答:计算机早就为数学的某些部分做了许多好工作。例如, 在数论里它们就有多种用途。首先,自然是提供猜想或问题。但它也可以用数值例子来验证一般性定理----这非常有助于发现可能出现的错误。 要对大量情形做检查时,它们也非常有用(例如,假若你非得验算10^6或10^7种情形的话)。有名的例子是四色定理的证明。 然而,这里也存在着有点类似于Fiet-Thompson定理中的问题: 对这样的证明,人是无法亲手去验证的;你需要计算机(和非常精巧的程序)。这也同样使人感到不舒服。
问:我们怎样鼓励年轻人从事数学,特别是对中学生?
答:在这方面,我有个理论,即首先应该劝阻人们去搞数学; 因为并不需要太多的数学家。但如果你们还坚持要搞数学,那就应该实实在在地鼓励并帮助他们。 至于中学生,关键是要让他们明白数学是活生生的,而不是僵死的(他们有一种倾向,认为只有在物理学或生物学中有未解决的问题)。讲授数学的传统方法有个缺陷,即教师从不提及这类问题。这很可惜。在数论中有许多这样的问题,十几岁的孩子入能很好地理解它们:当然包括费马大定理,还有哥德巴赫 猜想,以及无限个形如n^2+1的素数的存在性。你也可随意讲些定理而不加以证明(例如,关於算术级数中素数的狄利克雷定理)。
问:您是否会说过去30年的数学发展比在此之前的30年快?
答:我不能肯定这是真的,风格不同了。50和60年代总是强调一般的方法:分布、上同调等等。这些方法非常成功,而现在的人们则做更具体的问题(时常是一些相当老的问题:例如3维射影空间中代数曲线的分类!)。他们应用已有的工具;这是很美好的。(他们也创造新的工具:微局部分析(microlocal analysis)、超簇(supervariety)、交截上同调(intersection cohomology)……)。
问:面对数学的爆炸性发展,您是否认为开始读研究生的学生能够用四、五或六年的时间吸收大量的数学知识,然后直接开始做开创性的工作?
答:为什么不能?对某个给定的问题,你通常并不需要知道很多----再说,常常是极其简单的想法打开了局面。 有些理论得到简化,有些理论退隐了。例如,我记得在1949年我曾感到沮丧,因为每一期Annals of Mathematics上都有一篇比以前更难懂的拓朴学文章。但是,现在没有人再瞧它们一眼;它们被遗忘了(应该这样:我认为它们不包含任何深刻的东西……)。遗忘是一种很健康的行为。 当然,相对来说,有些学科需要更多的训练,因为它们需用大量的技巧。代数几何就是这样,还有表示论。 无论如何,某个人要是说“我准备搞代数几何”或类似的事情,这是不清楚的。对一些人来说,最好就是去参加讨论班,幻读东西并向自己提出一些问题,然后学习解决这些问题所需的那些理论。
问:换句话说,首先必须着眼于某个问题,然后去弄清楚解决这个问题所需的无论什么样的工具。
答:有点这个意思。但既然我知道我不能给自己提出好的忠告,我也不应给他人提什么建议。我工作时是没有现成方法的。
问:您提及那些已被遗忘的文章。您认为已发表文章中的百分之几能存活下去?
答:我相信不会是零。毕竟,我们还在愉快地读着Hurwitz、 爱森斯坦(Eisenstein)甚或是高斯(Gauss)的文章。
问:您是否会对数学史发生兴趣?
答:我早有兴趣了。但这绝非易事;我不具备掌握例如拉丁文和希腊文等语言的能力。而且,我能理解写一篇数学史文章要比写一篇数学论文花更多的时间。还有,历史是非常有趣的;它把诸事恰如其分地展现出来。
问:您是否相信对有限单群的分类?
答:又信又不信----信的成份多一些。如果有朝一日发现一个新的散在群,我会觉得有趣,但恐怕这种事情不会发生。 更重要的是,这个分类定理很了不起。现在只要查一查列出所有群的表格,就能查到许多性质(典型例子:n>4的n-可迁群(transitive group)的分类)。
问:您对完成分类后有限单群的生命力怎么想?
答:你是在暗指某些有限群专家在实现分类后士气低落;他们诅(大概跟我说过)“以后将无事可做。”我觉得这是荒谬的。 可做的当然多着呢!首先,自然是简化证明(此即Gorenstein说的“修正主义”)。也可以寻找其在数学其它部分中的应用,例如已经有把Griess-Fischer的怪群(monster group)和模形式联系起来的非常奇妙的发现(所谓“月光”(Moonshine))。 这正像问法尔廷斯(Faltings)关于Mordell猜想的证明是否结束了曲线上有理点的理论。不!这仅仅是个开端。许多问题仍待解决。 (当然,有时的确可以扼杀掉某个理论。有名的例子是Hilbert第五问题:证明每个局部欧氏的拓朴群是Lie群。当我还是个青年拓朴学家时,我确实想去解决这个问题----但我未能如愿。是Gleason和Montgomery-Zippin解决了它。他们的解几乎扼杀了这个课题。还能在这方向上做点什么呢?我只能想出一个问题:p-adic 整数群能否有效地作用在流形上?这看上去很难----但我所能预见的是,即使有了解答也没有任何膀用。)
问:可以这样认为,数学中的大多数问题都是这样的,即这些问题本身可能很难且富有挑战性,但在解决后,就没有什么用了。实际上,只有很少的问题能像Riemann猜想那样,早在解决之前,就知道有许多推论了。
答:是的。Riemann猜想是很美妙的:它孕育了许多东西(包括纯粹的数值不等式,例如数域的判别式)。但也有其他类似的例子:Hironaka的奇性消解定理(desingularizationtheorem) 是一个,当然还有上面讨论过的有限单群的分类。 有时,一个证明中所采用的方法有许多应用:我确信Faltings的证明属于这种情况。而有时,问题本身确实并不意味着有应用,而是对已知理论的一种经验,它促使我们看得更远。
问:您是否仍回过头来搞拓朴学中的问题?
答:不。我未去掌握新近的方法,我也不知道球面的同伦群\pi_{n+k}(S_n)已算到什么地步(我猜测人家已经做到k=40或50。 我只了解大约到k=10的情况)。 但广义地说,我仍然在使用拓朴学中的思想,诸如上同调、 障碍、Stiefel-Wiltney类等。
问:布尔巴基对数学有什么影响?
答:问得好。我知道把什么事(例如“新数学”)都归罪于Bourbaki是很时髦的,但这并不公正。Bourbaki没有责任,只是人们错用了他的书。这些书决不是为大学教育写的,中学教育就更谈不上了。
问:也许本来应该给一个警告性的信号?
答:事实上Bourbaki给出了信号,这就是Bourbaki讨论班。 此讨论班的内容根本不像他们的书那么形式化。它囊括了所有数学,甚至一些物理。如果你把讨论班和书结合起来看,你就会有更适当的看法。
问:您是否发现Bourbaki对数学的影响正在减弱?
答:影响与以前有所不同。四十年前,Bourbaki有一个目标,他要证明有计划地系统阐述数学是可能的。现在,这个目标已经达到,Bourbaki胜利了。其结果,他的书现在只有技术方面的重要性;而问题只在于他们是否给出了那些课题的良好阐述。 有的他们做到了(关于“根系”的那本书已成为该领域的标准参考文献);而有的并不如此(我不想举例,这更多地同各人的口味有关。
问:说到口味,您能否谈谈您最喜欢什么风格(对书或文章) ?
答:精确性和非形式化相结合!这是最理想的,就像讲课那样。你会在阿蒂亚(Atiyah),米尔纳(Milnor)以及其他一些作者的书里发现这种令人陶醉的溶合。但这极难达到。例如,我发现许多法文书(包括我自己的),有点过于形式化,一些俄文书又不那么精确……。 我进一步想强调的是,论文应含有更多的注记、未解决的问题等,这常常比精确证明了的定理更使人感兴趣。哎,大多数人害怕承认他们不知道某些问题的答案,结果克制自己不提这些问题,即
使它们是很自然会出现的。这太遗憾了!至于我们自己, 我很乐意说“我不知道”。
塞尔(Searle,John R.;1932~ )
美国分析哲学家。曾在牛津大学受教于J.奥斯汀、P.斯特芬森等人,1959年获哲学博士学位后,回美国任加州大学 伯克利分校 哲学教授。他以研究言语行为理论而闻名,认为语言交流的最小单位不是指号、词或语句,而是某种言语行为的完成。他把言语行为分为3种,即命题行为、以言行事的行为和以言取效的行为。著有《言语行为》等。