第1个回答 2022-07-01
这些公式，不是为了计算圆周率而开发的。相反，是为了计算右边的那些和，而得到的结果。碰巧，结果里有π
那么，为什么要计算这些结果呢？因为欧拉的老师要计算。
很多的结果都有了，后来就有了黎曼的ζ函数。
黎曼的ζ函数。这个函数的定义域本来是复数。那么，在实数领域的自然数领域，自然应该先计算一些结果。
(希腊字母ζ 读作/'zi:tə/ zeta 泽塔;)
(数学符号真的很混乱，必须吐槽。拉丁字母和希腊字母以及阿拉伯数字都不够用，再加上物理和化学中，混用的符合。还有数学家经常用的怪怪的花体。)
s=1 的时候，是大名鼎鼎的调和级数，虽然是发散的，但也是可以计算的，欧拉给出了结果，与对数和欧拉常数有关，不在这里讨论了。
s为偶数的时候，与π有关。
那么，这些结果是如何得到的呢？
从最简单的平方倒数和开始吧。我见过用傅立叶级数展开二次函数的，然后直接赋值，得证。那种方法应该叫做验证，不能叫做证明，也不是推导。因为欧拉生活的年代比傅立叶早几十年。用傅立叶的级数来证明欧拉的公式，做法就好像用两点间距离公式证明勾股定理一样。尽管数学领域里，定理之间条条大路能相通，但还是应该看看当初是如何走的。
从哪儿开始讨论呢？
大约应该从伯努利数开始。因为欧拉也有老师，欧拉的老师是约翰伯努利。但伯努利数，好像是雅各布伯努利发现的。总之，伯努利兄弟中的一位发现的，他们俩一起研究的。
这种数有什么特点呢？就是出现在自然数幂和中。
只有这几个公式，伯努利兄弟是不满意的。他们要求出任意的幂和。也就是说，5次方，6次方，7次方......
这个和怎么求呢？
其中，括号里的是选择数，Bn是伯努利数。
对于大于或等于3奇数n，Bn=0
从下标0开始，最初的几个伯努利数是：
0 ; -1/2 ; 1/6; 0; -1/30; 0; 1/42; 0; -1/30; 0; 5/66; 0 ; -691/2730; 0 ; 7/6
这里不推导和计算。过程是比较繁复的。总之，伯努利兄弟解决了所有的自然数幂和。但遇到倒数和的时候，竟然束手无策。可惜的是，当欧拉计算出来的时候，他的老师已经去世了，欧拉只好对着上天告慰。
那么，欧拉究竟是如何计算的呢？
这要从正弦函数的展开说起。早在牛顿之前的时代，人们就已经知晓很多函数的展开。欧拉最喜欢的是e的展开。
那么，
两个算式相加，平均以后得到
这些函数的定义域都是复数域，用ix代入，则有：
结果正好跟余弦函数的展开一致。也就是说cos(x)=cosh(ix)。
同样的道理，相减处理后可以得到 sinh(ix)=i sin(x)
以及正弦函数的展开：
然后，用一个特殊值代替x
设有这样一个方程：
这个方程，欧拉用肉眼观察的解是
你也能观察出来。
那么，根据韦达定理，已知一个一元多次方程的n个根，方程可以写成这样的形式
先看一个三次方程的例子：
左边展开以后，x的系数是多少呢？显然是
也就是说，x的一次幂的系数是：所有的根的倒数和乘以所有根的乘积。而所有根的乘积就是方程的常数项。
如果是偶数个根，添加一个负号。
从上面展开式中，看到，方程的常数项正好是1。一次幂的系数是3的阶乘的相反数。那么，所有根的倒数和就是1/6。
因此，顺理成章，有：
同他的老师一样，欧拉不会仅仅满足于求到倒数的平方和，他还要求立方和，4次方和，5次方和...直到找到最普适的公式。
且听下回分解。