设F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在...

Question

设F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点P满足：①△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形；②直线PF1与圆x2+y2=14a2相切，则此双曲线的离心率为_____7373．

Answer 1

解：设PF1与圆相切于点M，过F2做F2H垂直于PF1于H，则H为PF1的中点，
所以|F1M|=14|PF1|，
因为△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，
所以|PF2|=|F1F2|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1
|=2a+|PF2|=2a+2c，
又因为在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2-14a2=c2-14a2，
所以c2-14a2=116（2a+2c）2，
所以2a2+2ac-3c2=0，
所以3e2-2e-2=0，
因为e＞1，所以e=7+13．
故答案为：7+13．