线性代数矩阵推导问题

Question

有矩阵B
|B|=3（行列式=3）那么显然B的逆矩阵的行列式是1/3
我现在有推导出|B^-1|（B的逆矩阵的行列式）不是1/3而是 |B|^(n-2) 高手看看怎么错了

推导如下：
步骤1-------------------------------------------------------
B^-1=B*/|B| （B逆矩阵=B伴随矩阵/B的行列式）

步骤2----------------------------------------------------
两边取行列式：
|B^-1|= |B*| / ||B||

3-----------------------------------------
|B*|又等于|B|^(n-1)（n是阶）
||B||=|B|

4-------------------------------------------
带入上式
|B^-1| = |B|^(n-1)/||B|| = |B|^(n-2)

完毕 请问高手怎么错了

Answer 1

如楼上所说，错在了第二步：对于行列式，有|kA|=k|A|,但是这个结论对于矩阵是不成立的，这个是矩阵运算和行列式运算的区别之一，需要牢牢掌握的
对于矩阵，kA意思是矩阵里面的每一个元素都变成k倍，因此在对这个方阵取行列式，其系数就成了k^n而不是k了
所以
步骤2----------------------------------------------------
两边取行列式：
|B^-1|= |B*| / ||B||

应该变成：
步骤2----------------------------------------------------
两边取行列式：
|B^-1|= |B*| / （|B|^3）

Answer 2

第二步
两边化行列式应该是
|B^-1|= |B* / |B||
然后|B|是在矩阵中的数
提出来应该是|B|^n
那么
|B^-1|= |B*| / |B|^n=|B|^(n-1)/|B|^n=|B|^(-1)本回答被提问者采纳

Answer 3

第2步已经错了，因B^-1，B*都是矩阵，而|B| 是行列式的值，可正可负。当你两端取行列式时，实际对|B|取了绝对值，这就发生了错误。行列式虽然与绝对值符号一样，含含义不同，不能混为一谈。