第1个回答 2023-02-24
摘 要：二面角是立体几何中的重要内容，是高考考查的重点，同时也是学习的难点，为此，笔者结合一些高考题来分析、总结解这类问题的方法. 求解立体几何中二面角问题的方法，可概括为“找”“作”“造”.
关键词：二面角；平面角；定义法；垂面法；三垂线法；面积射影法；法向量法
二面角是立体几何中的重要内容，是高考考查的重点，同时也是学生学习的难点，为此，笔者结合一些高考题来分析、总结解这一类问题的方法.
求解二面角问题的方法，笔者概括为“找”“作”“造”.
“找”――看所给立体几何图形中有无二面角的平面角
“找”的依据是二面角的平面角的主要特征――顶点在棱上，角所在的平面垂直于棱.
例1（2008北京）如图1，在三棱锥P－ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求二面角B－AP－C的大小；
（3）（理）求点C到平面APB的距离.
图1
解析（1）如图2，取AB的中点D，连结PD，CD.
因为AP=BP，所以PD⊥AB.
因为AC=BC，所以CD⊥AB.
因为PD∩CD=D，
所以AB⊥平面PCD.
因为PC?奂平面PCD，所以PC⊥AB.
图2
（2）因为AC=BC，AP=BP，PC=PC，
所以△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，所以PC⊥BC.
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，所以BC⊥平面PAC.
图3
如图3，取AP的中点E，连结BE，CE，
因为AB=BP，所以BE⊥AP.
因为EC是BE在平面PAC内的射影，所以CE⊥AP.
所以∠BEC是二面角B－AP－C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=AB=，所以sin∠BEC==. 所以二面角B－AP－C的大小为arcsin.
（3）略.
“作”――在立体几何图形中作出有关二面角的平面角
“作”一般有下列三种方法：
1. 定义法
定义法是指二面角的棱上任意一点在两个半平面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角. 它适用于具有某种对称性的题目.
例2（2008湖南文）如图4，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=.
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求二面角A－BE－P的大小.
解析（1）如图5，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD. 又AB∥CD，
所以BE⊥AB.
图5
又因为PA⊥底面ABCD，BE?奂平面ABCD，
所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB.
又BE?奂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
（2）由（1）知，BE⊥平面PAB，PB?奂平面PAB，所以PB⊥BE.
又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.
在Rt△PAB中，tan∠PBA==，所以∠PBA=60°.
故二面角A－BE－P的大小是60°.
2. 垂面法
垂面法是指用垂直于棱的平面去截二面角，则截二面角的两个平面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出平面角的一种方法.
例3 （2008全国Ⅰ）如图6，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC.
图6
（1）证明：AD⊥CE；
（2）（理）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C－AD－E的大小.
解析（1）略.
（2）因为侧面ABC⊥面BCDE，且BE⊥BC，所以BE⊥面ABC. 所以面ABC⊥面ABE. 如图7，作CM⊥AB于M，连结EM，则CM⊥面ABE.
因此∠CEM=45°. 而CE=，因此CM=CE=，sin∠CBA=，∠CBA=60°. 所以△ABC为等边三角形.
图7
作CH⊥AD于H，连结EH，
因为AD⊥CE，CH⊥AD，
所以AD⊥面CHE.
所以AD⊥EH. 又CD⊥AC，
所以AD=，
CH=2×=，
DH=×=，
EH=.
cos∠CHE==－.
所以二面角C－AD－E的大小为arccos－.
3. 三垂线法
三垂线法是指通过二面角的一个半平面内某点P向另一个半平面作垂线（一般方法是利用面面垂直的性质定理），垂足为O，再过O向棱作垂线，垂足为O1，则∠OO1P即为所求二面角的平面角（钝二面角是其补角）.
例4（2008天津）如图8，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°.
（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成交角的大小；
（3）求二面角P－BD－A的大小.
解析（1）（2）略.
图9
（3）如图9，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE. 因为AD⊥平面PAB，
PH?奂平面PAB，
所以AD⊥PH.
又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD.
故HE为PE在平面ABCD内的射影.
由三垂线定理可知，BD⊥PE，
从而∠PEH为二面角P－BD－A的平面角.
由题设可知，
PH=PA•sin60°=，
AH=PA•cos60°=1，
BH=AB－AH=2，
BD==，
HE=•BH==.
于是在Rt△PHE中，
tan∠PEH==.
所以二面角P－BD－A的大小为arctan.
“造”――构造“射影”或构造“向量”求解
1. 面积射影法
所谓面积射影法，就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用cosθ=来计算二面角的一种方法（其中θ为二面角）.
利用这种方法，可以有效地解决二面角问题中的无棱及虽有棱但二面角的平面角不好表示的题目.
例5（2008天津）题目如同例4，在这里只说明第（3）问.
解析（3）过点P作PH⊥AB于点H，
过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.
因为AD⊥平面PAB，
PH?奂平面PAB，
所以AD⊥PH.
又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD.
故HE为PE在平面ABCD内的射影. 由三垂线定理可知，BD⊥PE.
从而∠PEH为二面角P－BD－A的平面角.
图10
由题设可知，PH=PA•sin60°=，AH=PA•cos60°=1，BH=AB－AH=2，
BD==，
HE=•BH==.
所以PE==，
S△PBD=BD•PE=.
又AH=1，BH=2，AD=2，
所以S△HBD=S△ABD－S△AHD=（6－2）=2.
所以cosθ====，即二面角P－BD－A的大小为arccos.
上述方法虽然成功地对一些无棱问题进行了解答，但它也受一定条件的限制，即题目中必须有一个三角形是另一个三角形在某一个平面内的射影，若这个条件不存在，我们就得考虑用另外的方法，即法向量法.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 2. 法向量法
法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角平面角相等或互补的关系求二面角的一种方法. 利用法向量求二面角时，两平面的法向量所成的角与二面角是“相等”还是“互补”便成为难点和关键. 在这里，笔者依托线性规划中二元一次不等式表示平面区域的判定方法，运用“类比法”得到利用法向量求解二面角的一种简捷、有效的方法.
在利用法向量求二面角时，两半平面法向量的夹角与二面角的大小只有两种情况，而按其法向量分类应有下列四种情况：
如上四图，设二面角α－l－β的大小为θ，a，b分别为α，β的任一法向量，其夹角为〈a，b〉，图12、13中有θ=〈a，b〉，图11、14中θ=π－〈a，b〉. 如何判断θ与〈a，b〉是“相等”还是“互补”呢？笔者运用类比联想，就能否找到一特殊向量来检验，发现了如下结论：
任取A∈α，B∈β，且A，B?埸l，分别根据向量的数量积•a，•b的符号判断θ与〈a，b〉的关系.
图11中有•a>0，•b0，•b>0，两积同号，θ=〈a，b〉；
图14中有•a0，两积异号，θ=π－ 〈a，b〉；
称为检验向量.
则上述结论可概括为“同等异补”（若•a，•b同号，则θ=〈a，b〉；若异号，则θ=π－〈a，b〉），采用的策略是“法向量定值，特殊向量定角”．
注意（1）检验向量若取，则由=－可知上述结论成立，由此可知与检验向量的方向无关.
（2）?埸l，否则有•a=0或•b=0．
例6（2008湖南文）题目如同例2，在这里只说明第（2）问.
图15
解析（2）如图15，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz．
则A（0，0，0），
B（1，0，0），
C，，0，
D，，0，
P（0，0，），
E1，，0.
所以=（1，0，－），
=0，，0.
设n1=（x1，y1，z1）是平面PBE的一个法向量，
则由n1•=0，n1•=0，
得x1+0×y1-×z1=0，0×x1+×y1+0×z1=0.
所以y1=0，x1=z1.
故可取n1=（，0，1）.
而平面ABE的一个法向量是n2=（0，0，1），设二面角A－BE－P的大小为θ，
因为cos〈n1，n2〉==，
所以〈n1，n2〉=60°. 取检验向量=，，，其中N为PE的中点，则
•n1=（，0，1）•，，=>0，•n2=，，•（0，0，1）=>0.
由本文上述结论知θ=〈n1，n2〉=60°.
例7（2007安徽）如图16，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1=2.
（1）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
（2）求证：平面A1ACC1与平面B1BDD1垂直；
（3）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.
图16
解析（1）（2）略.
（3）以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D－xyz（如图16），
则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（1，0，2），B1（1，1，2），
C1（0，1，2），D1（0，0，2）.
=（－1，0，2），
=（－1，－1，2），=（0，－1，2）.
设n=（x1，y1，z1）为平面A1ABB1的法向量，则有
n•=－x1+2z1=0，
n•=－x1－y1+2z1=0.
于是y1=0. 取z1=1，
则x1=2，n=（2，0，1）.
设m=（x2，y2，z2）为平面B1BCC1的法向量，则有
m•=－x2－y2+2z2=0，
m•=－y2+2z2=0.
于是x2=0.
取z2=1，
则y2=2，m=（0，2，1），
cos〈m，n〉==.
所以二面角A－BB1－C的大小为π－arccos或arccos.
取检验向量=（－2，2，0），
则•n=（－2，2，0）•（2，0，1）=－40.
由本文上述结论，有θ=π－〈n，m〉=π－arccos.
在此，笔者再介绍一种两平面的法向量所成的角与二面角是“相等”还是“互补”的简捷、有效的方法.
定义：设平面α的法向量n在平面α的一侧，若向量n的终点到平面α的距离小于向量n的起点到平面α的距离，则称平面α的法向量指向平面α（如图17）. 若向量n的终点到平面α的距离大于向量n的起点到平面α的距离，则称平面α的法向量背离平面α（如图18）.
图17
图18
设两个平面的法向量在二面角α－l－β内，若平面α的法向量n1指向（背离）平面α，同时平面β的法向量n2指向（背离）平面β，则二面角α－l－β为π－θ（如图19）；若平面α的法向量n1指向（背离）平面α，同时平面β的法向量n2背离（指向）平面β，则二面角α－l－β为θ（如图20），因此，二面角α－l－β的平面角为法向量n1与法向量n2所成的角θ或π－θ.
则上述结论可概括为“同补异等”（若n1，n2对于α与β，同为指向或背离时，θ=π－〈n1，n2〉；若n1，n2中一个指向，另一个背离时，θ=〈n1，n2〉）.
我们以例6和例7为例说明：
在例6中，n1在二面角A－BE－P内，向量n1指向平面PBE，n2在二面角A－BE－P内，n2背离平面ABE，所以两个法向量的夹角〈n1，n2〉就是所求二面角的大小，即为60°.
在例7中，n在二面角A－BB1－C内指向平面ABA1B1，m在二面角A－BB1－C内指向平面BB1CC1，
所以二面角A－BB1－C的平面角是法向量夹角〈n，m〉的补角，即为π－arccos.
由上例可以看出，法向量求解二面角的思路还是比较独特的，用代数的方法解决了几何问题. 其中，直角坐标系的建立应该是基础，而判断两平面的法向量所成的角与二面角的平面角是“相等”还是“互补”则是难点和关键.
运用上述策略求解二面角时，一般可依次进行，即先“找”，看几何图形中有无二面角的平面角，若有，则“指证”→“算”，如例1；若“找”不到就“作”，若作出，则“作”→ “指证”→“算”，“作”不出或不易“作”出时，就“造”，构造“射影”或构造“向量”.
总之，求解二面角问题的方法多，也比较活. 作为初学者，只有在认清各个方法特点的基础上，通过大量的学习才能达到熟练掌握与熟练运用的目的.
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