第1个回答 2022-06-28
给定两个实数集D和M(常用R代替),若有对应法则f,使对D内每一个数x,都有唯一的一个数 与它对应,则称f是定义在数集D上的函数
记作
称x为自变量,y为因变量
数集D称为函数f的定义域,x所对应的数y称为f在点x的函数值,常记为f(x),
全体函数值的集合 称为函数f的值域
1.定义域D和对应法则f为确定函数的两个主要因素,常用 表示一个函数
两个函数相同即它们有相同的定义域和对应法则
2.存在域：解析法(公式法)表示函数,函数的定义域常取运算式子有意义的自变量值的全体,称为存在域
此时函数的定义域D可省略不写,只用对应法则f表示函数,称"函数y=f(x)"或"函数f"
3.函数f给出了x轴上的点集D到y轴上点集M之间的单值对应,也称为映射
对于 ,f(a)称为映射f下a的象,a称为f(a)的原象
4.每一个 ,只能有唯一的一个y值与它对应,这样定义的函数称为单值函数
若同一个x值可以对应多于一个y值,则称函数为多值函数
例：符号函数
例：f(x)=|x|
函数 用有序数对的集合 表示
在坐标平面上集合G的每一个元素(x,y)表示平面上的一个点,集合G在坐标平面上描绘出这个函数的图像
Dirichlet函数：
Riemann函数：
给定两个函数 和 ,记 ,并设
若在D中剔除使g(x)=0的x值,
即令
注：若 ,则不能进行四则运算
设有两函数
记 ,若 ,则对每一个 ,可通过函数g对应D内唯一的一个值u,而u又通过函数f对应唯一的一个值y,确定定义在 上的函数,以x为自变量,y为因变量
f和g的复合函数：
记作 或
f为外函数,g为内函数,u为中间变量
注：当且仅当 时,f和g才能复合
设函数 满足：
对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x使f(x)=y
则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数,称为f的反函数
记作
或
注：
1.f有反函数,则f是D与f(D)之间的一一映射,称 为映射f的逆映射, 把f(D)中每一个f(a)对应到D中唯一的一个a,称a为逆映射 下f(a)的像,称f(a)为a在逆映射 下的原像
2.f与 互为反函数且
3.反函数习惯记法：以x为自变量,y为因变量
常量函数：
幂函数：
指数函数：
对数函数：
三角函数：
反三角函数：
给定实数 ,规定
由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数
不是初等函数的函数称为非初等函数