第2个回答 2012-05-08
(1)连CD,由条件得到点D为AB的中点,则CD=AD,∠4=∠A=45°,易证△CDF≌△ADE,△CED≌△BFD,得到CF=AE,CE=BF,而CE2+CF2=EF2,因此得到结论.
(2)把△CFB绕点C顺时针旋转90°,得到△CGA,根据旋转的性质得到CF=CG,AG=BF,∠4=∠1,∠B=∠GAC=45°,易证△CGE≌△CFE,得到GE=EF,即可得到结论AE2+BF2=EF2仍然成立;
(3)把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP,点N的对应点为Q,根据旋转的性质得到∠4=∠2,∠1+∠3+∠4=90°,BP=DF,BQ=CN,AF=AP,又△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,得到EF=BE+DF,则EF=EP,证得△AMQ≌△AMN,得到MN=QM,易证得∠QBN=90°,于是有BQ2+BM2=QM2,从而得到BM2+DN2=MN2.
解答:
证明:(1)连CD,如图4,
∵两个等腰直角三角形的相似比为1:2,
而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边,
∴点D为AB的中点,
∴CD=AD,∠4=∠A=45°,
又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠1,
∴△CDF≌△ADE,
∴CF=AE,
同理可得△CED≌△BFD,
∴CE=BF,
而CE2+CF2=EF2,
∴AE2+BF2=EF2;
(2)结论AE2+BF2=EF2仍然成立.理由如下:
把△CFB绕点C顺时针旋转90°,得到△CGA,如图5
∴CF=CG,AG=BF,∠4=∠1,∠B=∠GAC=45°,
∴∠GAE=90°,
而∠3=45°,
∴∠2+∠4=90°-45°=45°,
∴∠1+∠2=45°,
∴△CGE≌△CFE,
∴GE=EF,
在Rt△AGE中,AE2+AG2=GE2,
∴AE2+BF2=EF2;
(3)线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长.理由如下:
把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP,点N的对应点为Q,如图
∴∠4=∠2,∠1+∠3+∠4=90°,BP=DF,BQ=DN,AF=AP,
∵△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,
∴EF=BE+DF,
∴EF=EP,
∴△AEF≌△AEP,
∴∠1=∠3+∠4,
而AQ=AN,
∴△AMQ≌△AMN,
∴MN=QM,
而∠ADN=∠QBA=45°,∠ABD=45°,
∴∠QBN=90°,
∴BQ2+BM2=QM2,
∴BM2+DN2=MN2.
点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两个图形全等,对应点与旋转中心的连本回答被提问者采纳