设随机变量(x.y)的密度函数 问X与Y是否相互独立 求Z=X+Y的概率密度函数

Question

已知随机变量X、Y概率密度函数 问XY是否相互独立

f（x,y）={1\2(x+y)e^-(x+y) x>0,y>0
0 else
并且求Z=X+Y的概率密度函数

Answer 1

因X与Y相互独立，所以联合密度就是两个密度相乘，f(x,y)=e^(-y), 0<x<1, y>0
选y为积分变量，f(z)=∫e^(-y)dy, 关键是积分上下限的确定，由0<z-y<1得z-1<y<z，又y>0，
所以z的分界点为0、1
当0<z<1时，f(z)=∫(0→z)e^(-y)dy=1-e^(-z);
当z≥1时，f(z)=∫(z-1→z)e^(-y)dy=e^(1-z)-e^(-z);
z的其它情形，f(z)=0