固定长方形中的任意一条线段有不可列多(many)的点不失一般性,可设激光从长方形的一边出发(否则可反向延长首次路径交于一边)将激光第从长方形一边向另一边的轨迹称为一次弹射:则所有的弹射形成一个序列相交的弹射是上述序的一个子列,因此上能被遍历的点是一个可列)集不可列集无法被可列集遍历
和你的问题很相似的是照明问题(illumination problem),即一个任意形状的房间能否被单光源照亮,论是存在不能被照亮的形状。还有台球问题(billiard problem), 即如何反弹射击或落袋,长方形的话就是大力出奇迹啦不妨简化一下,不说长方体,说正方形,边长都是1 的2维。这个问题就是给定y=kx,到一个(a+c,b+d)的点,a,d都是整数,c,d都是(-1,1)的实数。(把一个点无限面反射形成的点距)对于任意一个给定的k,c,d(k是给定的,但是cd要取满,可以放宽条件改成都是任意给定的),总能找到符合条件的ab满足方程k=(a+c)/(b+d)。这个方程能不能总成立呢?不能。空间中的点数目是阿列夫1,而照到的点却可以用反射的次数来对应,所以是阿列夫0,当然没法照到所有的点了。题主要求的时间也是求不出来的,毕竟光速是有限的,而这是一个无限的过程……如果纯理论考虑,的确是个数学问题,答案很简单。能照亮的点在其表面至多稠密,但不连续,所以不是每个点都可以被照到。
k=3,d=0.5,c=17/91,移项以后就是3b-a=17/91-3/2,左边肯定是整数啊对吧
就算是k成为无理数也是没有办法取遍所有cd的这个问题我又想了一下,改个条件这个题会有趣的多:假设光宽度为ε,当ε越大,t就越小;我不确定ε趋近于0是否t可以收敛,但是可以做出ε-t的函数,取个足够好的点说不定这个问题可解。 同义转化成一个问题:在直角坐标系中,一个斜率为k(k>0),截距为h和h+ε,(h∈(-k-1,k+1),ε为给定小量)的平行矩区域中的整数点集合A。对于任意一个给定的k,c,d(k是给定的,但是cd要取满,可以放宽条件改成都是任意给定的),总能找到符合条件的ab满足方程k=(a+c)/(b+d)。这个方程能不能总成立呢?不能。取A中横坐标最小的一个那个点A0(h)(A0是 h的函数)再取A0(h)中最大的那个A0max(当h在定义域取遍时),当ε趋近0时,看看A0max有没有极限收敛。