2022-03-22-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P062 例08）
设对于任意实数 都有 ,求证:
证明
用反证法.设 ,将 表示为 的形式.其中, , .
由于 ,故存在实数 ,使得
即 .
由此即得 ,与题设矛盾!
所以 .
2022-03-22-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P062 例09）
将一些整数排在数轴的一切有理点上,求证:可以找到这样一个区间,使这区间的两个端点上的数之和不大于区间中点上的数的2倍.
证明
用反证法.设存在一些整数的这样的排列,使得对于含中点 的任意区间 ,有 不等式成立,其中 、 、 分别表示置于 、 、 上的整数.
设 、 、 、 、 分别代表数轴上的点-1、1、0、 及 ,并设置于它们上的整数分别为 、 、 、 、 ,
\includegraphics{Chapter_005/Section_04/001.PNG}
则 , ,
故 .
同理,有
所以存在 ,使得
故 .
但0为区间 的中点,矛盾!
2022-03-22-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P063 例10）
设 是两个大于2的连续整数之积,求证:没有整数 适合方程
证明
用反证法.设 , ,则 , .
假设有整数 满足等式:
如果所有的 全相等 ,从上式,有 .矛盾!于是,必有 ,其中 .我们分两种情形来讨论:
(i)当 时,
又由于
矛盾!因而这种情况不可能.
(ii)当 或 时.不妨设 .即
则
故有 ,于是, ,故 且 ,所以 .
由于 ,则 ,于是 ,矛盾!