设x>0.,y>0,且x²+y²/2=1,则x根号(1+y²)的最大值是

Question

如题所述

Answer 1

第一种方法：
令x=cost，y=根号2sint
t∈[0,π/2]
则x√(1+y2)=cost根号（1+2sin²t）=根号（cos²t+2sin²tcos²t）
=根号（cos²t-1/2+1/2sin²2t+1/2)=根号（1/2cos2t+1/2-1/2cos²2t+1/2)
=根号（-1/2cos²2t+1/2cos2t+1）=根号[-1/2（cos2t-1/2)²+9/8]
∵t∈[0,π/2]∴cos2t∈[-1,1]
所以当cos2t=1/2时最大，此时x=cost=cosπ/6=根号3/2，得x√(1+y2)最大值=根号9/8=3根号2/4
第二种方法1+y²=3-2x²
则x√(1+y2)=x根号（3-2x²）=根号（3x²-2x四次方）
令t=x²，因为x、y为正数，且x2+y2/2=1所以x∈[0，1]
∴t∈[0,1]
根号（3x²-2x四次方）=根号（3t-2t²）=根号[-2(t-3/4)²+9/8]
当t=3/4时最大，此时x=根号t=根号3/2,则x√(1+y2)最大值=根号9/8=3根号2/4
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