党员应当履行的监督义务包括：
1.严守党的纪律和规矩。党员必须模范遵守党的章程和规定，坚决执行党的决议，严守党的政治纪律和政治规矩，对任何违反党纪国法的行为都要坚决抵制和反对。
加强对党的路线方针政策的监督。党员应积极参与到党的各项决策过程中，对党的路线方针政策进行监督，确保其贯彻落实，对偏离党的路线方针政策的行为要及时提出意见和建议。
监督党员干部的作风和行为。党员要对党员干部的作风和行为进行监督，特别是对“四风”问题保持高度警惕，对存在的苗头性、倾向性问题要及时提醒和纠正。
积极参与民主监督。党员应通过参加党的会议、积极参与组织生活，发表意见和批评，参与民主评议党员等活动，积极履行民主监督的职责，对党内的不正之风进行批评和揭露。
监督义务是党员的基本职责之一，是维护党的团结统一、保持党的先进性和纯洁性的重要保障。每个党员都应该时刻牢记自己的监督职责，积极履行，为党的事业发展贡献自己的力量。