二者并没有什么关系，是两者完全不同的单词，表达的意思也完全不同。
首先grandmother是正式用语，多用于多用于书面用语中，grandmother's是名词所有格，意思是指奶奶的，祖母的，是单数形式。它的复数形式是grandmothers'，意思是祖母们的，奶奶们的。
garden，是英文单词，主要用作名词，及物动词，
不及物动词。作名词使用时译为(住宅旁或周围的)园圃，花园，果园，菜园；庭园；园子；公园。作及物动词使用时译为“栽培花木”，作不及物动词使用时译为“从事园艺；在园中种植”。
garden还有其他的形式：
1、第三人称单数： gardens。复数： gardens。
现在分词： gardening。
过去式： gardened。
过去分词： gardened
2、派生词： gardener 园丁；gardening园艺。