第1个回答 2022-07-24
定义：设函数 定义在点 上,当给 一个增量 , 时,相应地得到函数增量为
若 ,使得 ,则称函数f在点 可微,并称 为f在点 的微分,记作 或
dy是 的线性函数, 时,称微分dy为增量 的线性主部
注：
1.函数f在点 可导和可微是等价的
2.若函数 在区间上每一点都可微,则称f为I上的可微函数,函数 在I上任一点x处的微分记作 (依赖于 和x)
3.y=x时, ,自变量的微分dx就等于自变量的增量,于是 ,即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积
4.函数的导数等于函数微分域自变量微分的商 ,导数也称为微商
定理：函数在点 可微 函数f在点 可导,且
证明：
当自变量由 增加到 时,函数增量 ,微分是在点P处的切线上与 对应的增量
由导数与微分的关系
1.
2.
3.
4.
一阶微分形式的不变性： 不仅在x为自变量时成立,当它是另一可微函数的因变量时也成立
的一阶微分是 ,其中变量x和dx是相互独立的,将一阶微分作为x的函数,若f二阶可导,则dy对自变量x的微分 或写作 ,称为函数f的二阶微分
区别： ; 表示x的二阶微分( ); 表示 的一阶微分( )
注：
1.n阶微分是n-1阶微分的微分,记作 ,即
可写成
2.对 的n阶微分称为高阶微分
3.一阶微分具有形式不变性,而高阶微分不具备这个性质
例：
例：设 , ,求
解：
法二：
错解：
由函数增量与微分的关系 , 很小时有 ,由此可得 ,或 时有
几何意义：当x充分接近 时可用切线近似替代曲线(以直代曲),线性近似的思想可简化复杂问题
例：
令 ,可得原点附近的近似公式：
, ,
,
例：求 的近似值
解：
例：设钟摆的周期为1s,在冬季摆长至多缩短0.01cm,求此钟每天至多快几秒
解：
设x由测量得到,y由函数 计算得到,在测量时,存在测量误差,实际测得的为x的近似值 ,由 算得 也是 的近似值,若已知测量值 的误差限为 (与测量工具有关),即 ,则 很小时, ,而相对误差限则为
例：设测得一球体的直径为42cm,测量工具的精度为0.05cm,求以此直径计算球体体积时引起的误差
解：