关于函数f(x)=ln(1-x)-ln(1+x),有下列结论:①f(x)的定义域...

关于函数f(x)=ln(1-x)-ln(1+x),有下列结论: ①f(x)的定义域为(-1,1), ②f(x)的图象关于原点成中心对称, ③f(x)在其定义域上是增函数, ④对f(x)的定义域中任意x有f(2x1+x2)=2f(x). 其中正确的个数是(  )A.1B.2C.3D.4

第1个回答  2019-08-28
解:∵函数f(x)=ln(1-x)-ln(1+x),
∴1-x>01+x>0,
解得-1<x<1,
故f(x)的定义域为(-1,1),故①正确,
∵f(-x)=ln(1+x)-ln(1-x)=-[ln(1-x)-ln(1+x)]=-f(x),
∴函数为奇函数,故图象关于原点成中心对称,故②正确;
设x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=ln(1-x1)-ln(1+x1)-ln(1-x2)+ln(1+x2)=ln(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2),
∵1-x1>1-x2,1+x2>1+x1,
∴(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)>1,
∴ln(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在其定义域上是减函数,故③错误;
∵f(x)=ln(1-x)-ln(1+x)=ln1-x1+x,
∴f(2x1+x2)=ln1-2x1+x21+2x1+x2=ln(1-x1+x)2=2lnln1-x1+x=2f(x),故④正确.
故选:C.
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