A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)答:这个不等式,在矩阵的合同变换下,是等价的.正定矩阵,合同于单位矩阵.半正定矩阵,合同于单位矩阵搭配上全零矩阵,就是 [ I 0 0 0]的样子.所以,去掉那些零矩阵(没用的量,不影响结果),实际上对于A半正定的条件,我们可以直接假定A=I.所以,相当于要证明(X'Y)(X'Y)
A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)<=(X'AX...答:如果A是正定的, <X,Y> = X'AY是一个内积, 这个不等式就是Cauchy不等式.我们不妨用同样的办法去证明.对任意向量X, Y与实数t, 考虑g(t) = (tX+Y)'A(tX+Y) = f(X)t²+2(X'AY)t+f(Y). (A对称故X'AY = Y'AX).由A半正定, 有g(t) ≥ 0对任意实数t成立, 作为关于t...