如何证明一个函数有界

Question

如题所述

Answer 1

证明一个函数有界的方法：使用定义证明函数有界性、使用导数证明函数有界性。

一、使用定义证明函数有界性

函数有界性的定义是指存在一个实数M，对于函数的所有定义域上的取值，函数的绝对值都小于等于M。那么，可以通过使用定义来证明函数的有界性。

具体的证明步骤如下：

1、首先，需要根据函数的定义确定函数的定义域。

2、然后，需要找到函数在定义域上的最大值和最小值。

3、最后，取最大值和最小值的绝对值的较大者作为M，即可证明函数的有界性。

二、使用导数证明函数有界性

在函数的导数为有界函数的条件下，可以证明函数的有界性。

具体的证明步骤如下：

1、首先，需要计算函数的导数。

2、然后，需要证明导数在定义域上的取值是有界的。

3、最后，根据导数的有界性可以推导出函数的有界性。

有界函数的定义和性质

一、定义

有界函数是设f（x）是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f（x）≤M，则称f（x）是区间E上的有界函数。其中m称为f（x）在区间E上的下界，M称为f（x）在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ（D）是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。

当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

二、性质

1、单调性

闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

2、连续性

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

3、可积性

闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。