nim游戏与SG函数

Question

求NIM游戏的解释：k堆石子，每堆有ai颗石子，两人轮流取，要么取一堆中的任意颗，要么把某一堆分成任意的两堆（均非空），求谁有必胜策略。
求问这个问题的求解过程和SG函数在此问题中发挥的作用。
带点参考资料更好，但百科的资料就不用了。
请稍微解释清楚点，稍微好一点本人就会加分的（加30吧）。。。

Answer 1

如果轮到你的时候，只剩下一堆石子，那么此时的必胜策略肯定是把这堆石子全部拿完一颗也不给对手剩，然后对手就输了。如果剩下两堆不相等的石子，必胜策略是通过取多的一堆的石子将两堆石子变得相等，以后如果对手在某一堆里拿若干颗，你就可以在另一堆中拿同样多的颗数，直至胜利。如果你面对的是两堆相等的石子，那么此时你是没有任何必胜策略的，反而对手可以遵循上面的策略保证必胜。如果是三堆石子……好像已经很难分析了，看来我们必须要借助一些其它好用的（最好是程式化的）分析方法了，或者说，我们最好能够设计出一种在有必胜策略时就能找到必胜策略的算法。NIM游戏的获胜策略已由美国数学家C.L.Bouton 分析完成，用到的是二进制和平衡状态概念。其结论是：
　（1）如果一开始火柴的总根数转化成二进制后各位数上的 数字和都是偶数时，则是平衡状态，后取者必胜。最 简单的平衡态是（1，1），即2 堆火柴，每堆各1 根。
　（2）如果开始时火柴的状态处于不平衡状态，先取者必胜， 其策略是取完后使火柴根数保持为平衡状态。

Answer 2

如果轮到你的时候，只剩下一堆石子，那么此时的必胜策略肯定是把这堆石子全部拿完一颗也不给对手剩，然后对手就输了。如果剩下两堆不相等的石子，必胜策略是通过取多的一堆的石子将两堆石子变得相等，以后如果对手在某一堆里拿若干颗，你就可以在另一堆中拿同样多的颗数，直至胜利。如果你面对的是两堆相等的石子，那么此时你是没有任何必胜策略的，反而对手可以遵循上面的策略保证必胜。如果是三堆石子……好像已经很难分析了，看来我们必须要借助一些其它好用的（最好是程式化的）分析方法了，或者说，我们最好能够设计出一种在有必胜策略时就能找到必胜策略的算法。NIM游戏的获胜策略已由美国数学家C.L.Bouton 分析完成，用到的是二进制和平衡状态概念。其结论是：
　（1）如果一开始火柴的总根数转化成二进制后各位数上的 数字和都是偶数时，则是平衡状态，后取者必胜。最 简单的平衡态是（1，1），即2 堆火柴，每堆各1 根。
　（2）如果开始时火柴的状态处于不平衡状态，先取者必胜， 其策略是取完后使火柴根数保持为平衡状态。