如图，P为正方形ABCD边AD上一点，

Question

如图，P为正方形ABCD边AD上一点，以BP为腰作等腰Rt△BPQ（B、P、Q按顺时针方向），M为BD延长线上一点 （1）证明pd平分∠mpq（2)证明根号2dp+dq=bd

Answer 1

差个条件，若加个DM=DQ，则结论可证
（1）证明：因为四边形ABCD是正方形
所以角ADB=角CBD=45度
因为三角形BPQ是等腰直角三角形
所以BP=QP
角BPQ=90度
角BQP=45度
所以角BQP=角ADB=45度
所以B ,P ,D ,Q四点共圆
所以角BPQ=角BDQ
所以角BDQ=90度
因为角PDQ=角ADB+角BDQ=45+90=135度
角PDM=180-角ADM=180-45=135度
所以角PDM=角PDQ=135度
因为PD=PD
DM=DQ
所以三角形PDM和三角形PDQ全等（SAS)
所以PM=PQ
角DPM=角DPQ
所以PD平分角MPQ
(2)证明：过点P作PG垂直PD于P，交BD于G
所以角DPG=90度
因为角DPG+角PGD+角ADB=180度
角ADB=45度（已证）
所以角PGD=45度
所以角PGD=角ADB=45度
所以DP=GP
所以三角形PDG是等腰直角三角形
所以PG^2=DP^2+GP^2
所以PG=根号2CP
因为角PGD+角PGB=180度
所以角PGB=135度
因为角PDM=135度（已证）
所以角PGB=角PDM=135度
因为PB=PQ（已证）
PQ=PM（已证）
所以PB=PM
所以角PBG=角PMD
所以三角形PBG和三角形PMD全等（AAS)
所以GB=DM
因为DM=DQ
所以GB=DQ
因为BD=GB+DG
所以根号2DP+DQ=BD