有等号，可以得到一个闭区间。让单调性在整个定义域上没有遗漏。另外，不减（f'≥0），不增(f'≤0)也是单调性的一种。一个单调性区域，有个别点，其f'(x)=0,在整体上，仍然是单调递增或递减区域。因为f'(x)等于0，不一定是极值点，可能是上升过程或者下降过程中的一个有水平切线的反弯点。比如函数y=x³，y'=3x²，x=0时，y'=0，但是x≠0时，y'全部大于0，因此，虽然有一个点的导数是0，它还是在整个定义域上单调递增的。
单调递增的精确定义是，在某区域内是任何一点x0的，存在一个足够小的增量ε>0，只要0<Δx≤ε,就有f(x0+Δx)-f(x0)>0,f(x0)-f(x0-ε)>0.
这个定义不能排除f'(x0)＝0的情形，因为当lim(Δx->0)[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx,分子分母都是正数，但是极限是0，这种情况也与函数单调性定义不矛盾。但是，因为两者都是正数，取极限之后肯定不可能是负数，因此只能f'(x0)≥0.如果遗漏看f'(x0)=0的点，可能就遗漏了一个单调的点。
还是y=x³，y''=6x,x>0时，y''>0,曲线向上凹；x<0,y''<0,曲线向下凹。这样的点是函数的反弯点，在这样的点，左侧在水平切线的下方，右侧在水平切线的上方，水平切线的点还是一个单调递增点。
对于递减的情形可以同样导论，举例函数可以用y=-x³，可以自己分析。
y'=0有4种情况，
1、在该点两侧，曲线都在水平且线下方，是一个极大值点；
2、在该点两侧，曲线都在水平切线上方，是一个极小值点；
3、在该点左边，曲线在水平切线下方，在该点右方，曲线在水平曲线上方，是一个单调递增点，也是反弯点（凹凸方向改变的点，左侧向下凹，右侧向上凹）；
4、在该点左边，曲线在水平切线上方，在该点右方，曲线在水平曲线下方，是一个单调递减点，也是反弯点（凹凸方向改变的点，左侧下上凹，右侧向下凹）；
单调递增的精确定义是，在某区域内是任何一点x0的，存在一个足够小的增量ε>0，只要0<Δx≤ε,就有f(x0+Δx)-f(x0)>0,f(x0)-f(x0-ε)>0.
这个定义不能排除f'(x0)＝0的情形，因为当lim(Δx->0)[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx,分子分母都是正数，但是极限是0，这种情况也与函数单调性定义不矛盾。但是，因为两者都是正数，取极限之后肯定不可能是负数，因此只能f'(x0)≥0.如果遗漏看f'(x0)=0的点，可能就遗漏了一个单调的点。
还是y=x³，y''=6x,x>0时，y''>0,曲线向上凹；x<0,y''<0,曲线向下凹。这样的点是函数的反弯点，在这样的点，左侧在水平切线的下方，右侧在水平切线的上方，水平切线的点还是一个单调递增点。
对于递减的情形可以同样导论，举例函数可以用y=-x³，可以自己分析。
y'=0有4种情况，
1、在该点两侧，曲线都在水平且线下方，是一个极大值点；
2、在该点两侧，曲线都在水平切线上方，是一个极小值点；
3、在该点左边，曲线在水平切线下方，在该点右方，曲线在水平曲线上方，是一个单调递增点，也是反弯点（凹凸方向改变的点，左侧向下凹，右侧向上凹）；
4、在该点左边，曲线在水平切线上方，在该点右方，曲线在水平曲线下方，是一个单调递减点，也是反弯点（凹凸方向改变的点，左侧下上凹，右侧向下凹）；
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