could't是错误的，英语中没有这样的组合缩写，couldn't是正确的，表示不能，是could not的缩写形式。
重点词汇：could
音标：英[kʊd , kəd] 美[kʊd , kəd]
释义：
modal 能，会; (询问是否可做某事)能，可以; (礼貌地请求别人做事以及提供或建议某事物时)能，可以; 可能会，有时会; （用于建议）可以; （用于表示对某人的行为的厌恶）能，可以; 好像，仿佛; （强调感觉）真想;
例句：
The boss couldn' t hold back his anger any longer. 老板再也抑制不住怒火了。
I couldn' t kill the mouse in cold blood. 我不能残酷地弄死那只老鼠。
He couldn' t bend his mind to his studies. 他不能专心学习.
He couldn' t find a hold on the cliff. 他在悬崖上找不到一个可以站住脚的地方。
【用法】
1、could为助动词can的过去式,其后可接不带to的动词不定式。
2、could有两种否定形式,即couldnot和could not,其缩写形式为couldn't。这两种否定形式英美均通用,当使用could not时,特别强调not。
3、could用于疑问句中并不表示过去时,而是表示现在时,此时语气比较委婉,有时表示把握不大或犹豫; could用于特殊疑问句常含有惊讶、迷惑等感情色彩。
4、could表示“允许”,可用于人,也可表示环境、条件、法律的“允许”。could在表示“允许”时,只能指过去泛指的一般许可,而不能表示过去具体的许可。表示过去的具体许可时,可用实义动词allow, permit等。
We could relax the procedure slightly in your case.
我们可以根据你的情况通融一些。
Could this verb be used in progressive form?
这个动词可以用进行式吗？
正确的是：couldn't 不能