们知道因式分解的常见方法有：提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法。除了这四种常见的方法外，在数学竞赛中还要用到下面的一些方法，现例析如下：
1， 推广了的十字相乘法
根据十字相乘法的形式，将其对系数的要求推广到含有字母的式子，可将较为复杂的多项式分解因式。
例1， 分解因式：x²+xy-6y²+x+13y-6 (希望杯赛题)
解：原式=（x²+xy-6y²）+(x+13y)-6
=(x+3y)(x-2y)+(x+13y)-6
=(x+3y-2)(x-2y+3) x+3y -2
x-2y +3
=3(x+3y)-2(x-2y)
=x+13y
练习题：分解因式：4x2-4x-y²+4y=3 (02年重庆赛题)
2， 延拓了的公式法
在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上，推导出了公式：
xn +y n=(x+y)(xn-1 –xn-2 y +…-x yn-2+yn-1) (n为奇数)
xn –yn =(x-y)(xn-1 +xn-2 y+…+xyn-2 +yn-1)
例2，已知乘法公式：
a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)
利用或者不用上述公式分解因式：x8+x6+x4+x²+1 (祖冲之杯赛题)
解：由公式得：x10-1=(x²)5-1=(x²-1)(x8+x6+x4+x²+1)
∴x+x+x+x²+1=(x10-1`)/(x²-1)=(x5-1)/(x-1) •(x5+1)/(x+1)
=(x-1)(x4+x³+x²+x+1)/(x-1)•(x+1)(x4-x³+x²-x+1)/(x+1)
=(x4+x³+x²+x+1)(x4-x³+x²-x+1)
练习题：分解因式：1+x²+x³+…+x15
3,拓展了的分组分解法
⑴拆项（分组）法
把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解的一种方法。
例3，分解因式：x4-7x2+1 (祖冲之杯赛题)
解：原式=x4+2x2+1-9x2 (即把-7x2拆成-9x2+2x2)
=(x2+1)2-(3x)2
=(x2+1+3x)(x2+1-3x)
⑵添项（分组）法
在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解的一种方法。
例4，分解因式：3x6-x12-1
解：原式=x6+2x6-x12-1
=x6-(x12-2x6+1)
=(x3)2-(x6-1)2
=（x3-x6+1）(x3+x6-1)
练习：①x4+2x3+3x2+2x+1 (02年河南赛题)
②x3-9x+8 (祖冲之杯赛题)
3， 换元法
换元法是一种重要的数学方法，在分解饮食时，通过将原式的代数式用字母
代替后，达到简化原式结构的目的
例5、分解因式：（x+1）(x+2)(x+3)(x+6)+x2(天津赛题)
解：原式=[（x+1）（x+6）][(x+2)(x+3)]+x2
=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2
令m=x2+6
∴原式=（m+7x）（m+5x）+x2
=m2+12xm+36x2
=（m+6x）2
=（x2+6+6x）2
例6、分解因式：xy（xy+1）+（XY+3）-2（x+y+½）-（x+y-1）2（天津赛题）
解：设x+y=a，xy=b，原式=（b2+2b+1）-a2=（b+1+a）（b+1-a）=（xy+1+x+y）（xy+1-x-y）=（x+1）（y+1）（x-1）（y-1）
练习：分解因式①，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
② ,(x+Y-2xy)(x+y-2)+xy-1) (希望杯赛题)
5、主元法：
主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数。重新按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从而简化问题。
例7，分解因式：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z （天津赛题）
解：原式=(2x-z)y2+(2xz-4x2)y+(2x3-x2z)
=(2x-z)y2+2x(z-2x)y+x2(2x-z)
=(2x-z)(x-y)2
练习：x4-2x4y+x4y2-2x2+y2-2x2y2+2y+1
6,构造法
构造法是数学解题中的一种重要方法，在中考与竞赛中经常用到。在分解因式时，通过适当的构造，可简化分解的难度。
例8，分解因式：x2+2xy-8y2+2x+14y-3
解：原式=x2+2(y+1)x-8y2+14y-3
令原式=0，∴x1+x2=-2(y+1)
设 x1=-(y+1)+k,x2=-(y+1)-k (构造对偶式)
又 x1•x2=(y+1)2-k2=-8y2+14y-3
∴k2=(3y-2)2,得 ；x1=2y-3,x2=-4y+1
∴原式=（x-2y+3）(x+4y-1)
练习： 分解因式： x2+5xy+x+3y+6y2 (河南赛题)
7，求根公式法
我们用g(x)表示关于x的一个多项式，如 g(x)=x4+2x3-9x2-2x+8.若g(a)=0,那么（x-a）是g(x)的一个因式。
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