第1个回答 2011-02-18
设长宽高分别为a，b，c，对角线长为l
则sinα=a/l,sinβ=b/l,sinγ=c/l,故sinα^2+sinβ^2+sinγ^2=1,cosα^2+cosβ^2+cosγ^2=2
剩下所有的不等式都是平均值不等式：
即1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
上题为n=3的情况，
（1）3/[1/(sin²α)+1/(sin²β)+1/(sin²γ)]≤（sin²α+sin²β+sin²γ)/3=1/3
整理即得1/(sin²α)+1/(sin²β)+1/(sin²γ)≥9
（2）3/[1/(cos²α)+1/(cos²β)+1/(cos²γ)]≤（cos²α+cos²β+cos²γ)/3=2/3
整理即得1/(cos²α)+1/(cos²β)+1/(cos²γ）≥9/2
下面几个就不用我说了吧，希望对你有所帮助。
（3）（4）用算术平均小于等于平方平均
（5）、（6）用几何平均小于平方平均
楼主应该明白吧，都打出来太麻烦了啊，楼主试试，应该没问题