河宽L=300m，河水流速u=1m/s，船在静水中的速度u=3m/s，欲按下列要求过河时

Question

河宽L=300m，河水流速u=1m/s，船在静水中的速度u=3m/s，欲按下列要求过河时，船的航向应与河岸成多大角度？过河时间为多少？
1 以最短时间过河
2 以最短位移过河
3 到达正对岸上游100m处

Answer 1

1.由于运动的独立性，只要船头方向始终与河岸垂直，即航向与河岸成90°。
那么过河的时间就会最短：tmin=L/v=100s——v=3m/s此处为船在静水中速度。
2.要最短位移，则过河的实际位移与河岸垂直。
根据 速度的合成，即要合速度的方向垂直于河岸。
即船速v，与水速u，合速度Vo构成直角三角形——图形会画吧。
航向与河岸的夹角设为θ，则cosθ=u/v，所以θ=arc cos （u/v）——arccos代表反三角函数
过河时间：t=L/ √（v^2-u^2）=L/Vo =150/√2= 75√2 s
3.这个比较烦。用正弦定理——设夹角为α 。
在速度三角形中，α的对边为合速度——因为合速度为：Vo=vsinα/cosb
而b+90° 的对边为v ，所以 Vo/sinα =v/sin（b+90° ），由此可解出α=
之前的算错了。——设合速度Vo与河岸的垂直方向的夹角为 b。
则 sinb=100/√（100^2+300²）=（√10 ）/10
又因为，还是要自己画图。

等一下，正在算 α
希望对你有帮助！追问

v^2-u^2,是什么意思？

还有第三问，不用给我列示，我只想知道怎么想？怎么做？

思维

追答

因为根据勾股定理得，Vo^2=v^2-u^2
——Vo是合速度，即直角三角形的斜边，v和u都是直角三角形的直角边。
所以列出这个式子是为了求出Vo的大小。

对于第三问，因为题目限制了要到上游的100m处，所以合速度的方向指向
上游的100m处，三个速度构成一个钝角三角形。所以角度难求。

对于第三问，我觉得最后还是选用“余弦定理”好，因为上面已经求的
Vo2=（vsinα/cosb）2=10（vsinα）2/9=10v2（1-cos2α）/9···························①
根据余弦定理得，α为船速v、水速u的夹角，合速度Vo为它的对边。
∴ cosα=（v2+u2-Vo2）/2vu···································②
联立①②，即可求出α与Vo。
最终，解得cosα=3/5（其中cosα=0不合题意，舍去）即α=arccos3/5=53°
自己带入看看吧，我验算过了。是对的。你应该也有答案吧。
最早的第三问我算错了，但现在做对了。
时间：T=（√L2+s2）/ Vo=（100√10）/ （√32/5）=125s
希望对你有帮助。
不明白的继续问问，我会回答的。

追问

Vo2=（vsinα/cosb）2=10（vsinα）2/9=10v2（1-cos2α）/9···························①
根据余弦定理得，α为船速v、水速u的夹角，合速度Vo为它的对边。
∴ cosα=（v2+u2-Vo2）/2vu···································②
不太明白哎 。

追答

额，那个是Vo^2=（vsinα/cosb）^2=10(vsinα)^2/9=10v^2（1-(cosα)^2）/9，因为“平方”的符号这里显示不了，造成误解了。其实我打的时候还是² 的，显示发生错误了，那只好用“^2 “来表示了。
其中cosb 在图中没有标示出来，但前面说过了：“设合速度Vo与河岸的垂直方向的夹角为 b。”你就自己看看吧，应该能找到 角 b 吧。如果找不到，也不要紧，在图中L与s的那个小夹角就是b 了，sinb=s/L，∴cosb=L / √（L^2+s^2） =（3√10） /10。
那么余弦定理，——这个公式可以用来算两边夹角的余弦值。这个你学过没有？可以自己上网查查。
cosα ==（v^2+u^2-Vo^2）/(2vu) ——这个就是纯粹套公式了。
懂了吗？其实 做这么多就是为了求 夹角的余弦值，然后用arccos代表角度完事，而要求余弦，又要通过 求三角形的边来求，所以就要具体表达出边的式子。

Answer 2

航向，是指船本身的速度方向，而不是合速度的方向。
比如，航向与河岸夹角90度时，因为水流的原因，所以合速度方向会向下游偏。

1 航向夹角90度，
2 航向夹角 90°-arctan（1/3）
3 航向夹角 90°-arctan（2/3）追问

能具体点么？

不太明白啊。 尤其第三问。

Answer 3

最短时间过河的话，船头要正对着对岸。则时间是100s。
最短位移的话，就是船要走直线，船头此时就不能是正对对岸了。合速度正对对岸，合速度是根号八。
正对岸上游100m 的话，则合速度的方向知道了，一切就很好解决了追问

能具体点么？

不太明白啊。 尤其第三问。

追答

合速度的方向就是船漂流的方向。知道了到达对岸上游100m，又知道了河宽300m，就可以算出船漂流方向相对于河正对岸的夹角了。利用夹角就可以接下去做了