07年广州市中考数学第24题的全部正确答案(最好有图)

Question

如果有1,2种方法,我会加分!!

Answer 1

已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；
（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。
解：（1）略
（2）猜想：成立。证明如下
证明：（如图所示，作DF⊥AE交AE于F，作BG⊥AC交AC于G，连结FM，GM）
在Rt△ADE和Rt△ABC中
∵AD=DE AB=BC
且DF⊥AE BG⊥AC
∴F为AE中点 G为AC中点（等腰三角形三线合一）
∴DF=AF BG=AG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵M为CE中点
∴FM为△AEC的中位线
GM为△ACE的中位线
∴FM‖AC GM‖AE（三角形中位线定理）
∴四边形AGMF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴FM=AG GM=AF（平行四边形对边相等）
∴DF=GM BG=FM（等量代换）
∵∠BGM=90°-∠MGC
而∠MGC=∠FAG=∠EFM（两直线平行，同位角相等）
∴∠BGM=90°-∠EFM
即∠BGM=∠MFD
在△FDM和△GMB中
∵FD=GM
∠MFD=∠BGM
FM=GB
∴△FDM≌△GMB（边角边定理）
∴DM=MB ∠FMD=∠GBM
∴∠DMB=∠FMD+∠FMB
=∠GBM+∠FMB
=∠EPB（三角形任何两个内角和等于和它不相邻的外角）
而∠FPB=∠AGB=90°（两直线平行，同位角相等）
即∠DMB=90°
∴DM=BM且DM⊥BM
图片在此【自己画的，可能不太好看】：
http://photo.store.qq.com/http_imgload.cgi?/rurl2=9d44c62a0f852eea110ce7a2bc361bcd8ac1b184a7060f8040c53bef67a729f214f9f515cb4acb61a6e32a25be315efb8bbedaecdd74360a4204aa4a65fdc45ae295f856cf488e8942fb03c986d1c9d0e30c9ea7

Answer 2

（12分）已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；
（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。
解：（1）略
（2）猜想：成立
〔证明〕：
过D作DF⊥DM且DM=DF，连接AF与ED交于G点，与EC交于H点
∵ DF⊥DM
∴∠FDM=90 °
∵△ADE是直角三角形,且AD=AE
∴∠ADE=90 °
∵∠EDF是公共角,∠FDM=∠ADE=90 °
∴∠EDF+∠ADE=∠EDF+∠FDM
即∠ADF=∠EDM
∵在△AFD和△EMD中
AD=AE(已知)
∠ADF=∠EDM（已证）
DF=DM（已知）
∴△AFD≌△EDM（S.A.S）
∴∠FDA=∠MED
EM=AF
又∵∠8和∠9是对顶角
∴∠8=∠9
∴△AGD∽△EGF
∴∠EFG=∠ADE=90°
∴∠CHA=90°
又∵∠ABC=90°
且∠AIH=∠BIC(对顶角)
∴∠6=∠2
∵M为EC中点
∴EM=CM
∴CM=AF
∵在△BMC和△BFA中：
CM=AF（已证）
∠2=∠3（已证）
AB=AC（已知）
∴△BMC≌△BFA(S.A.S)
∴∠MBC=∠FBA
BM=BF
∴∠MBF=∠FBA+∠ABM=∠MBC+∠ABM=90°
连接MF
∵△MBF为直角三角形，且BF=BM
∴△MBF为等腰直角三角形，∠BFM=∠BMF=45°
同理，∠DFM=∠DMF=45°
在△BFM和△DFM中：
∠BFM=∠DFM（已证）
FM=FM（已知）
∠BMF=∠DMF（已证）
∴△BFM≌△DFM（A.S.A）
∴BM=DM
∠DMB=∠DMF+∠BMF=90°
∴BM=DM且BM⊥DM
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