立体几何问题：用一个平面将一个边长为1的正四面体切分为两个完全相同的部分，则切面的最大面积为（）？

Question

高中时立体几何就学得不好，请问该如何复习立体几何，有什么好的资料或参考书推荐一下吗？多谢。

Answer 1

设正四面体为abcd，取正四面体一边ad的中点o，bc中点t，连结ob、oc、ot，此时ao=do，正四面体被分为完全相同的两部分。
ob=根号3/2，bt=1/2，且ot垂直于bc，
所以这个切面的面积为3/8追问

你取两个中点，两点如何能连成一个面啊？看不懂。这样不能完全相同吧！

追答

连结 obc，形成切面，即正四面体的一个棱和对棱的中点所形成的面，是最大的切面。此时，分割的两部分完全相同，因为有一个是棱的中点，其余部分都完全相同。
结果，算错了，应该是 四分之根号二。

追问

我就想知道为什么沿一条棱和对棱的中点形成的三角形切面最大呢？因为我觉得两条对棱形成的平行四边形面 最大啊。

追答

是正四面体，不是正方体，两条棱哪来的平行四边形。

Answer 2

平面沿正方体两条对棱相切得的切面的面积最大。
切面的面积为：1*√ 2＝√ 2追问

我也觉得沿两条对棱切的切面最大，但是答案说的最大切面是，棱AB和它对棱的中点E所形成的面。然后求出来答案是4分之根3。我就是想不明白为什么是这个面最大，你再回味一下？

追答

是的，我看错了。是正四面体，不是正方体。是棱和它对棱的中点所形成的切面最大。该切面是个等腰三角形，边长分别是：1、√3/2、√3/2。以边长1为底的高是：√2/2
切面的面积是：1*√2/2/2=√2/4