Mathias等（2009），介绍了一种用于评估深部咸水层中超临界CO2灌注引起的压力积累，以及在岩层开始破裂时极限压力的简易估算方法（Mathias et al.，2009；赵玉军译，2011）。该方法主要用于评估可压缩多孔介质中的两相Forchheimer流（超临界CO2和咸水），也可用于评估岩层和这两种液相的可压缩性。假定灌注压力受岩层破裂所需的压力限制；假定在孔隙压力超过最小主应力时岩层发生破裂，这些将依次与岩层的泊松比有关。同时也提供了用于评估咸水和CO2黏滞性、密度和可压缩性的详细指南。这种方法将有效地用于筛选分析潜在的CO2灌注场地，评价是否值得开展进一步的调查工作。
1.最大可持续压力评估
通常考虑岩石的3种破坏模式为完整岩石剪切破坏、非黏结性断裂再剪切作用以及张性破裂引起的新裂缝开裂。通过单独考虑库伦破坏准则，如果保守假定现存断裂可存在于所有方向，那么，这些现存断裂的再剪切作用将在完整岩石出现剪切破坏之前发生（图1-3）。
图1-3 断裂稳定性的莫尔圆分析图
这是因为：(1)完整岩石具有有限的内聚力（莫尔圆的y轴截距）和(2)完整岩石可能具有更大的摩擦角。此外，Sibson（2003）根据脆性破坏曲线图进一步推断，再剪切作用也应在张性破裂开始之前发生。然而，如下给出的简单分析证实，本结论完全取决于原位主应力比。
根据Schmitt和Zoback（1989）、Jaeger等（2007）可计算临界井孔的张性破裂压力Pt［ML-1T-2］（例如水力压裂）（Schmitt and Zoback，1989；Jaeger et al.，2007）：
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式中：σh［ML-1T-2］、σH［ML-1T-2］、T0［ML-1T-2］和PP［ML-1T-2］分别为最小水平应力、最大水平应力、抗拉强度和孔隙压力；α1［-］为经验参数，其范围通常为0.2至0.6，及式（1-8）：
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式中：η［-］和v［-］分别为毕奥系数和泊松比。
式（1-7）中，假定σh＜σv（σv［ML-1T-2］为垂直应力），这通常是指在所关注深度范围内的情况下。
由于沿井孔壁形成了“泥饼”，因此，假定孔隙压力不同于水井压力。假定PP＝Pt（忽略泥饼的影响）、T0＝0，｜σh-σH｜＜＜σh及α1＝1（更差的情况下），把破裂压力保守估计为：
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根据引起非黏结性断裂（尤其是定向断层）摩擦滑动（Streit and Hillis，2004）的主应力比，计算可能引起现存断裂滑动的临界孔隙压力，Ps［ML-1T-2］。通过考虑图1-3中的莫尔圆曲线图，可得出：
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式中：σ1［ML-1T-2］和σ3［ML-1T-2］分别为最大主应力和最小主应力；μ＝tanφ；φ为内摩擦角（Jaeger et al.，2007）。
理论上，最小应力σ3应通过一些原位水力压裂实验测定（Lucier et al.，2006）。或者可使用在其他类似场地测定的数据，这些数据可在如下数据库中查询，如全球应力图（Lucier and Zoback，2008）。然而，这种数据在初始筛选研究中可能是无效的。在这种情况下，可以利用一些与水平应力和垂直应力有关的简单关系式。需要注意的是，根据如下方程式可容易地获得垂直应力σv［ML-1T-2］的评估值（Jaeger et al.，2007）：
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式中：D［L］为考虑的灌注深度；ρs［ML-3］为饱和岩石密度；g［LT-2］为重力加速度；z［L］为深度。
用于评估水平应力 （可以为σh和σH）的最简易方法是假定一种简单线性法则，例如：
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式中：k［-］为经验参数。
把方程式（1-12）代入方程式（1-10），随后得出临界压力方程式：
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Rutqvist等（2008）考虑了两种梯度：k＝0.7（张应力体系）和k＝1.5（压应力体系）。Brown和Hoek（1978）对收集的大量地下应力测定值进行了编辑。Brown和Hoek（1978）根据简易图形拟合实践，得出了如下经验范围（Jaeger et al.，2007）：
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式中：z为深度，m。遗憾的是，采用方程式（1-13）和（1-14）得出的Ps值一般低于静水压力，这就导致这些数值不适用于本筛选分析。这可能是由于Brown和Hoek（1978）采用许多观测值具有实质的黏结强度且在邻近区域不存在断裂的缘故。
另一种备选方法是，假定在最大主应力方向存在单轴向应变，得出（Zimmerman，2000；Jaegeret al.，2007）：
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式中：σ1＝σv和σ3＝σh。
从方程式（1-10）和（1-15）中除去σ3，并设σ1＝σv，得出如下Ps与σv关系式：
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假定η≤1，得出在η＝1时方程式（1-16）的最小值，这意味着根据如下方程式可获得滑动压力［假定方程式（1-15）］的保守评估值：
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根据定义，该保守评估值大于方程式（1-9）中张性破裂的预测值。需要注意的是，方程式（1-16）仅当σv为最大主应力时才有效。在压缩（逆断层）和扭压性（走滑断层）背景下应采用备选方程式，例如方程式（1-13）。
鉴于筛选分析的目的，若要鉴别潜在的CO2灌注场地是否值得进一步开发，将需要开展更详细的调查。完成该项工作的简易方法是核查评估的压力积累值是否小于过载压力σv。随后，在灌注方案中开展的性能评价分析也将需要验证压力积累不应超过滑动压力Ps和水力压裂Pt的90％。已知水平-垂直应力比（即k），可从方程式（1-13）得出Ps的评估值。在这种情况下，有关原位应力状态的信息是无效的，且不能测定Ps的敏感值。然而，通过利用方程式（1-9）及从方程式（1-15）得出的σh来评估水力压裂压力，仍然可根据过载压力值大大缩减可能的压力范围。在这种方法中，可以根据灌注岩层深度（D）、岩石密度（ρs）、泊松比（v）和毕奥系数（η）的评估值计算极限压力。这种方法与Daines（1982）推荐的方法类似。
2.CO2灌注引起的压力积累评估
为了计算压力积累，需要模拟深部咸水层中超临界CO2的灌注。这通常可利用多相储层数值模拟器完成（Pruess and Garcia，2002；Pruess and Spycher，2007；Kumar et al.，2005；Rutqvist et al.，2007，2008；Birkholzer et al.，2009）。然而，这些模型成本较高，且需要利用计算机进行强化计算才能完成。为此，同样需要开发简易半解析法。开发这些简易半解析法，首先应采用贝克莱-莱弗里特驱替方程式（Saripalli and McGrail，2002；Nordbotten et al.，2005a，b；Nordbotten and Celia，2006）。该方程式描述了一维两相非混相流（Buckley and Leverett，1942）。通过计算不同流体的流动性（相对渗透性与黏滞性之比）来描述其两相流的特性。两种主要简易假定为：在两相流（例如可忽略的毛细管压力）之间的压差可以忽略不计；流体和地质岩层中的可压缩性可忽略不计。若忽略流体和地质岩层中的可压缩性意味着，计算压力分布将需要详细阐明任意的影响半径。
Zhou等（2008）开发了一种备选方法，用于计算地层的封存容量和流体可压缩性。然而，他们在分析中采用的主要极限假定压力积累在空间上均匀分布，且不依赖于岩层的渗透性。最近，Mathias等（2009）通过利用拟合的渐进展开法，以开发最终弥散方程的近似解法，并结合岩层和流体的可压缩性对Buckley-Leverett方法进行了修正。此外，Mathias等在先前开发方法的基础上，利用Forchheimer方程式获得用于计算惯性效应的大时间段近似解。由于灌注井（或回采井）周围流线的会聚引起流速增大，因此，惯性效应对于CO2灌注（或回采）方案而言尤其重要（Thiru-vengadam and Pradip Kumar，1997；Venkataraman and Rama Mohan Rao，2000；Kelkar，2000；Reddy and Rama Mohan Rao，2006）。
利用Mathias等（2009）的大时间段近似解评估由CO2灌注引起的最大压力积累，考虑了一种作用于垂直范围H［L］内承压多孔地层整体厚度的流体压力P［ML-1T-2］，包括假定可忽略毛细管压力。假定CO2与咸水由明显的分界面隔离，该分界面位于岩层基底上部高程h［L］处（图1-4）。
图1-4 CO2灌注模型示意图
CO2区完全与CO2密度ρo［ML-3］和黏滞性μo［ML-1T-1］饱和，而咸水区完全与咸水密度ρw［ML-3］和黏滞性μw［ML-1T-1］饱和。假定每个区域内的相对渗透性、密度和黏滞性为恒量。也假定CO2、咸水和多孔地层的可压缩性co［M-1LT2］、cw［M-1LT2］和cr［M-1LT2］为恒量。假定该两种流体的流量qo［LT-1］和qw［LT-1］（每单位面积）取决于Forchheimer方程式：
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式中：k［L2］为渗透率；b［L-1］，有时称之为Forchheimer参数；r［L］为至水井的径向距离。因次分析结果表明，上述问题受多个参数组控制（Mathias et al.，2009）：
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式中：rw［L］为水井半径；参数α、β、γ、ε和σ均为无因次参数。参数Po［ML-1T-2］和to［T］分别代表典型压力和时间。
参数α需尤其关注。如果CO2以类似活塞的方式侵入储层，那么，在时间t内渗透半径处于 对于Darcian单相流而言，压力波（对于圆柱形弥散而言）对应的弥散前缘处于 其中D＝k/［φμ0（cw＋cr）］为水力扩散系数。随后对α的检验结果表明，α＝（rp/rd）2。在地下水水文学文献中，从D＝T/S（其中，T＝ρwgkH/μw［L2T-1］）计算的扩散率一般为导水系数，S＝SsH为储水系数。
参数β基本上是无因次惯性损失。其主要组成部分为Forchheimer参数b。在b、k和φ之间存在许多经验关系式（Ward，1964；Geertsma，1974；Venkataraman and Rama Mohan Rao，1998；Sid-iropoulou et al.，2007）。此处采用Geertsma（1974）的关系式，该关系式尤其在石油行业得到了极好的验证：
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假定α＜10-3和｜ε｜＜10（这意指，流体可压缩性差异不会过度大于咸水饱和岩层的总体压缩性），得出：
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这意味着灌注井周围的惯性边界层经过足够的时间可完全包含于CO2羽流范围之内。Mathias等学者（2009）认为，在灌注井（此处为最大值）的压力积累可近似表示为：
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β项类似于Wu（2002）双孔隙度模型中的惯性能量损失项。
3.流体特性评估
开展上述分析需要对咸水和CO2的黏滞性、密度和可压缩性进行评估。这些参数可通过压力与温度之间的经验关系式获得。
Adams和Bachu（2002）通过回顾咸水的经验关系式推断，Batzle和Wang（1992）的密度方程式及Kestin等（1981）的黏滞性方程式，最适于开展沉积盆地CO2灌注研究。Batzle and Wang（1992）给出了以下有关咸水密度ρw（kg/m3）的函数关系式：
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通过如下方程式得出咸水密度ρw（kg/m3）：
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式中：TC为温度，℃；P为压力，MPa；C为氯化钠溶质浓度，kg/L。
咸水黏滞性随温度增加快速下降，而随盐度增加而增大（虽然取决于温度），但对压力相对不敏感。在温度低于250℃的条件下，Kestin等（1981）的黏滞性关系式可近似表示为（Batzle和Wang，1992）：
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式中：咸水黏滞性μw用mPa·s表示。
通过如下方程式（Bear，1979）可获得咸水可压缩性Cw的表达式，用MPa-1表示：
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利用P对方程式（1-26）和（1-27）求导得出：
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图1-5（a）～（c）所示为在C＝0.1kg/L时的相关咸水特性综合曲线图。
对于CO2密度计算而言，公认并广泛使用的关系式为Span和Wagner（1996）的关系式。由于广泛使用了TOUGH2的ECO2N流体特性模块，因此，也经常采用Altunin（1975）的关系式。由于需要进行严格的计算操作，因此，在TOUGH2（Pruess and Spycher，2007）范围内采用了Altunin（1975）的关系式，并用作一种检查表。Span和Wagner（1996）方程式在评估方面也面临着挑战，虽然McPherson等学者（2008）对此提出了一种有效的MATLAB MFile软件。Spycher等学者（2003）提出了一种简化近似法，他们拟合了Redlich-Kwong状态方程与Span和Wagner（1996）方程式的修正形式，其温度范围超过283K～380K。Redlich-Kwong方程式采用的形式如下：
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式中：b1和b2分别为分子间引力和斥力的测量值；V为在压力P（用bar表示）和温度T（用开氏温度表示）下压缩气相的克分子体积；R＝83.144 7 bar cm3 mol-1K-1，为气体常数；Tk为温度（用开氏温度表示）。在Redlich-Kwong方程式的修正形式中，Spycher等（2003）设定b1＝（0.754×108～4.13×104）Tk，b2＝27.80。通过迭代解法或Nickalls（1993）的更复杂直接法可获得其容量体积。随后，根据ρo＝1000M/V获得密度（用kg/m3表示），式中M＝44.01μg/mol为CO2的摩尔量。
应用最广泛的CO2黏滞性关系式是Vesovic等（1990）和Fenghour等（1998）提出的关系式，这种关系式在200K≤Tk≤1500K范围内有效。Fenghour等（1998）的关系式表明，CO2黏滞性仅取决于密度和温度。虽然他们直接对其方程式进行了评估，但该方程式仍包含12种经验系数。Spycher等学者（2003）的密度函数仅在283≤Tk≤380范围内有效。从图1-5可明显看出，CO2黏滞性随温度的变化完全处于该范围之内。因此，该关系式可适当近似为Fenghour等（1998）的关系式。通过研究函数特性和应用线性回归，获得一种超出283≤Tk≤380范围的良好近似值（图1-6）。
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式中：μo单位为μPa；ρo单位为kg/m3。
可压缩性通过如下方程式获得（Bear，1979）：
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对方程式（1-33）求导得出：
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图1-5（a）～（c）利用C＝0.1kg/L从方程式（1-27）～（1-29）计算的咸水流体特性；（d）～（f）从方程式（1-32）～（1-34）计算的CO2流体特性图
图1-6 Fenghour等（1998）的CO2黏滞性方程式与新近似函数方程式（1-33）对比图
4.应用实例
按照推荐的示范方法，考虑到平原CO2减排合作计划（PCOR）区域范围内的3个场地。PCOR合作计划由北美中央内陆及邻近地区的60多家公共和私营部门的利益相关团体联合开展。PCOR合作计划在该区域内确定了1106个固定CO2源，这些CO2源的年总排放量约为5.05×108t。PCOR合作计划区域地下存在两个大规模深部咸水层（ “地质封存单元”）：下白垩统Newcastle和Inyan Kara岩层（砂岩）及Madison岩组（石灰岩，处于密西西比纪层序范围之内）（图1-7）。据PCOR估计，上述两个岩层分别能够潜在封存650×108 t和370×108 t CO2。
图1-7 大平原北部含水层体系的综合水文地质剖面图
Madison岩层单元包括Williston盆地（例如Madison组）内的3个碳酸盐岩组和Powder河流盆地内的1个单独岩层，称之为Madison石灰岩（PCOR，2005b）。Madison岩层单元为横向延伸的，几乎存在于Willson盆地和Powder河流盆地的所有地下区域。该岩层单元的厚度范围为，从南达科他州和北达科他州东部地下露头的0 m至北达科他州西部的大于900 m（Lobmeyer，1985）。Madison含水层的导水率范围为，从南达科他州西南部的20 m2/d至蒙大拿州东部的超过1 200m2/d（Downey，1984）。
PCOR在大平原北部确定的由地质封存单元组成的下白垩统岩组，包含下部含水层单元（Inyan Kara岩层）和上部含水层单元（Newcastle岩层），这两个岩层单元为由完整页岩（Skull Creek岩层）弱透水层隔离的砂岩层。下白垩统地质封存单元横向延伸穿过Williston和Powder河流盆地，虽然在红河东部附近存在一些地下露头。下白垩统地层单元的导水率是变化的，其范围为3 300～5000 m2/d（PCOR，2005a）。
本次评估采用的地质和水力特性数据，来自于20世纪80年代美国地调局开展的大规模区域填图，因此，该数据代表了非常粗略的特性等级（Downey，1984；Lobmeyer，1985），而且，其中一些关键数据并不适用，尤其是下白垩统地层单元的高程、深度和孔隙率数据。因此，深部咸水层处置方案评估的准确度受限于这些数据的质量。表1-11总结了每个场地内上述岩层的相应特性。为方便起见，将上述3个场地称作A、B、C。
表1-11 利用Madison组和下白垩统对3个场地进行的评估实例
续表
表1-11（b）提供了相关流体特性的评估值。需要注意，在未对咸水密度进行评估之前是不可能计算背景压力的。因此，可以通过迭代方式对咸水密度进行评估，以确保上述两个岩层的评估值一致。下一步是重复评估CO2的密度ρ0。采用了相对较大的密度起始值ρ0＝1 000 kg/m3。随后对该值进行人工缩减，直至利用方程式（1-32）预测的压力与先前计算的背景压力一致为止。
表1-11（c）提供了假定的力学性质以及垂直和水平应力评估值。泊松比、毕奥系数和岩石密度值由Rutqvist等（2007）提供。
表1-11（d）提供了其他假定的灌注压力特性评估。灌注速率以示范场地内假定的CO2捕获速率为基础。对于这两个地质封存单元而言，孔隙率数据并不适用。因此，假定上述两个地质封存单元的孔隙率值为背景值的10％。岩层可压缩性由Zhou等（2008）提供。可能的设计标准选定为50年，并把典型水井半径考虑为0.1 m。
需要注意的是，假定上述两个地质封存单元具有相同的毕奥系数和泊松比，为此，岩石密度不随深度的改变而发生变化。由于这些计算仅用作示范目的，因此这种假定是适当的。然而，在开展实际方案时仍应谨慎地选择更适当的参数值。利用方程式（1-11）中的积分方程可容易地结合非恒定岩石密度。
表1-11（e）提供了灌注压力及其相关备用参数的评估值。其中，据k＝μwT/ρwgH计算渗透率。从公式可明显地看出，这些可压缩性参数α均低于30×10-4，该值远低于Mathias等（2009）近似解所需的有效性极限。然而，下白垩统浅岩层的可压缩性比ε可能变得非常高。因此，相应灌注压力可能被稍微过高评估（Mathias et al.，2009）。在大时间段近似值变得有效的情况下，所有临界时间tc均低于17天。
表1-11中的最底行参数为总压力与破裂压力比，即（Pb＋P1）/σh。很明显，所有方案均处于推荐的EPA准则（＜90％）范围之内，但Madison组内的场地B除外。在场地B的Madison组岩层单元不合格的原因如下：灌注速率高；该地区内岩层温度低导致CO2黏滞性增大；岩层厚度较小导致惯性（β值）效应增大。下白垩统灌注压力的评估值远低于Madison组，这主要由较低背景压力引起更低CO2黏滞性引起。