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Question

如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点A作AP∥BC交抛物线于点P．
（1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；（3分）
（2）过点A作AP//CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积；（3分）
（3）在x轴上方上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G、三点为顶点的三角形与△PCA相似。若存在，请求出M点的坐标；否则请说明理由．（4分）

Answer 1

（1）A、B坐标 y=0带入 x=正负1 A(1.0) B(-1.0) C点坐标X=0带入 C（0.-1）
直线解析式公式y=ax+b B、C坐标带入 可求的 a=-1 b=-1 直线解析式y=-x-1
（2）由题可知
OB=OA=OC=1
所以BC=CA=√2 AB=2
所以△ABC为等腰直角三角形
∠ ABC=∠ BAC=45°
∵BC∥AP
∴∠PAB=45°
所以∠CAP=90°
CA⊥AP
∴AP的直线解析式为y=-x-1+2=-x+1
∵抛物线公式y=x²-1
可求AP一抛物线的两个交点坐标分别为A（1.0）P（-2.3）
S△ABP=3*2*（1/2）=3
S△ABC=1/2*1*2=1
四边形ACBP的面积=S△ABP+S△ABC=4
（3）假设存在 则M坐标为（a.a²-1）（M坐标满足抛物线公式）
由2问可知P（-2.3） 则AP=3√ 2（假设过点P做PK⊥X轴 那么△PKA为等腰直角三角形，角PAB=45°）
在△APC中 ∠PAC=90° 所以PC=2√5
∵PCA∽△AMG
∴MG：AP=AG:AC
即（a²-1）：3√ 2=（a-1):√ 2
解得a=1或a=2
当a=1时 此时M点和A点重合 此时不成立
所以a=2
M点坐标为（2.3）

Answer 2

（1）x^2-1=0,x=±1,A(1,0),B(-1,0)
y=0^2-1=-1,C(0,-1)
（2）BC直线方程：y=kx+b
0=-k+b,-1=b
k=-1,b=-1
y=-x+b
AP直线方程：y=-x+b
0=-1+b,b=1
y=-x+1
解y=-x+1，y=x^2-1,得
x=1,y=0;x=-2,y=3
P(-2,3)
|BC|=√[(0+1)^2+(-1-0)^2]=√2
|AP|=√[(-2-1)^2+(3-0)^2]=3√2
2直线距离：2*√2/2=√2
S=1/2*(√2+3√2)*√2=4
（3）存在，因为：
|AC|=|=√[(0-1)^2+(1-0)^2]=√2
|CP|=√[(-2-0)^2+(3+1)^2]=2√5
|AC|^2+|AP|^2=(√2)^2+(3√2)^2=20=|CP|^2
ACP为直角三角形

Answer 3

y=x^2-1
1
y=0, A(1,0) B(-1,0) C(0,-1)
y=(-1)(x+1)

2
AP//BC AP斜率-1
y=(-1)(x-1) x+y-1=0
y=x^2-1 x^2-1=1-x x^2+x-2=0 x=-2, y=3 P(-2,3)
PA=√(3^2+3^2)=3√2 BC=√(1^2+1^2)=√2
C到PA距离d=|0*1+(-1)*1-1|/√[1^2+(-1)^2]=√2
S=(1/2)(3√2+√2)*d=2√2*√2=4

3
MG垂直x轴于G，三角形AMG是直角三角形
PC斜率(Py-Cy)/(Px-Cx)=[3-(-1)]/(-2)=-2
CA斜率（Cy-Ay)/(Cx-Ax)=(-1/-1)=1
AP斜率1
AC垂直AP
PC=√2，AP=3√2
PC/AP=1/3
My/(1-Mx)=3 或 My/(1-Mx)=1/3
y=-3x+3 y=-x/3+1/3
y=x^2-1 y=x^2-1
x^2-1=-3x+3 x^2-1=-x/3+1/3
x^2+3x-4=0 3x^2+x-4=0
x=-4 ,y=15 x=-4/3,y=7/9
M(-4,15) M(-4/3,7/9)