把一根长度为a的铁丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形

Question

问：两段铁丝各长多少时，圆形和正方形面积之和最小

Answer 1

设围成圆形的铁丝长为x，则围成正方形的铁丝长为a-x，其中：0<x<a
则：圆形的半径为x/(2π)，正方形的边长为(a-x)/4
那么：圆形和正方形的面积之和
=π*(x/2π)²+[(a-x)/4]²
=x²/(4π) + (a-x)²/16
=[4x²+π(a-x)²]/(16π)
=[(4+π)x²-2aπx+πa²]/(16π)
=(4+π)[x²-2aπx/(4+π) +πa²/(4+π)]/(16π)
=(4+π)｛[(x- aπ/(4+π)]²- [aπ/(4+π)]²+πa²/(4+π)｝/(16π)
所以当x=aπ/(4+π)时，
面积之和最小为:
(4+π)｛- [aπ/(4+π)]²+πa²/(4+π)｝/(16π)
=[-a²π²/(4+π) +πa²]/(16π)
=4πa²/[16π(4+π)]
此时围成圆形的铁丝长为aπ/(4+π)，围成正方形的铁丝长为4a/(4+π)