高中数学题——

Question

已知f(x)=lnx+a/x
1.若函数f(x)在x=1处的切线与向量(1,1)垂直球该切线与两坐标轴围成的三角形面积
2.若f（x）在[1，e]上最小值是3/2，求a

Answer 1

解：1. f'(x)=1/x-a/x²，因为函数f(x)在x=1处的切线与向量(1,1)垂直,故切线斜率为-1,故f(x)在x=1,
的导数等于-1,所以 f'(1)=1-a=-1，所以a=2,所以f(x)=lnx+2/x，故可设切线方程为y=-x+b,
又f(1)=ln1+2=2，过（1,2），所以2=-1+b,得到，b=3,故切线方程为y=-x+3,与x轴的焦
为（3,0），与y轴的焦点是（0,3），故S=1/2×3×3=9/2
2. 因为 f'(x)=1/x-a/x²，若a<=0,则f'(x)在[1，e]恒大于0，故f(x)=lnx+a/x在[1，e]为增函数，
所以 f(1)=ln1+a=a=3/2>0,与假设a<=0矛盾。故a>0,f'(x)=1/x-a/x²=1/x(1-a/x),对于1/x在
[1，e]上恒大于0，故若a>=e,f'(x)<0,原函数为减函数，故f(e)=1+a/e=3/2,得到a=e/2<e,
与假设不符。若0<a<=1,则f(x)=lnx+a/x在[1，e]为增函数，所以 f(1)=ln1+a=a=3/2与假
设不符，故设1<a<e,则f'(x)在[1,a]上小于0，在[a,e]上大于0，故最小值点在x=a处取得，
f(a)=lna+a/a=lna+1=3/2,得到a=√e,与假设相符，故a=√e

Answer 2

楼上的方法烦索，我给你写个：
向量是（1，1）嘛，就是从(0,0)点到(1,1)点的一线直线，斜率k=(1-0)/(1-0)=1，切线斜率与它垂直，K'=-1/K=-1，对f(x)求导，因f'(x)=k'，得a=2，f(1)=2，f(x)经过点(1,2)，切线方程：(y-2)/(x-1)=-1，当x=0时，y=3，当y=0时，x=3，S=3*3/2=4.5。
对于第二个小问，我给你两个方法：
方法1.（针对选择题）函数在导数为0时有极值，f'(x)=1/x-a/x^2，令f'(x)=0，得x=a，代入原f(x)得：a=e^0.5，验证：a在[1,e]区间内。
方法2.（针对计算题）f'(x)=1/x-a/x^2，在导数恒大于0时为递增，令f'(x)>0，则1/x(1-a/x)>0，因x∈[1,e]>0，所以要求(1-a/x)>0，得x=a，增函数最小值在起点处，所以当x=a时，f(x)max=lna+a/a=3/2，得a=e^0.5。