第1个回答 2012-03-20
南京市2011年初中毕业生学业考试
数 学
数学注意事项：
1． 本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2． 请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3． 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效．
4． 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1． 的值等于
A．3 B．－3 C．±3 D．
2．下列运算正确的是
A．a2＋a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．(a2)3=a8
3．在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%．则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为
A．0.736×106人 B．7.36×104人 C．7.36×105人 D．7.36×106 人
4．为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是
A．随机抽取该校一个班级的学生
B．随机抽取该校一个年级的学生
C．随机抽取该校一部分男生
D．分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生
5．如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是
6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为 ，则a的值是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．－2的相反数是________．
8．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=____________．
9．计算 =_______________．
10．等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝．
11．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________．
12．如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝2．
13．如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．
14．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为a（0°＜a＜180°），则∠a=______．
15．设函数 与 的图象的交战坐标为（a，b），则 的值为__________．
16．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________．
三、解答题（本大题共12小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解不等式组 ，并写出不等式组的整数解．
18．（6分）计算
19．（6分）解方程x2－4x＋1=0
20．（7分）某校部分男生分3组进行引体向上训练，对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如下．
⑴求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；
⑵小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均数不可能提高3个这么多．”你同意小明的观点吗？请说明理由；
⑶你认为哪一组的训练效果最好？请提出一个解释来支持你的观点．
21．（7分）如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
22．（7分）小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．
⑴小亮行走的总路程是____________㎝，他途中休息了________min．
⑵①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；
②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？
23．（7分）从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者．求下列事件的概率：
⑴抽取1名，恰好是女生；
⑵抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．
24．（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
25．（7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
27．（9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
28．（11分）
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为 ．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质．
① 填写下表，画出函数的图象：
②
x ……
1 2 3 4 ……
y …… ……
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数 (x＞0)的最小值．
解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
答案：
一.选择题：ACCDBB
二.填空：
7. 2 8. 36 9. 10. 6 11. 12. 13. 40 14. 90 15. 16. 4
17. 解：
解不等式①得：
解不等式②得：
所以，不等式组的解集是 ．
不等式组的整数解是 ，0，1．
18.
19. 解法一：移项，得 ．
配方，得 ，
由此可得
，
解法二：
，
， ．
20.解：⑴训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是 ≈67%．
⑵不同意小明的观点，因为第二组的平均成绩增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3（个）．
（3）本题答案不唯一，我认为第一组训练效果最好，因为训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数最大．
21.证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.
∵EC=DC, ∴AB=EC．
在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴⊿ABF≌⊿ECF．
（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．
解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．
又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．
22. 解⑴3600，20．
⑵①当 时，设y与x的函数关系式为 ．
根据题意，当 时， ；当 ， ．
所以， 与 的函数关系式为 ．
②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（ ），
缆车到达终点所需时间为1800÷180＝10（ ）．
小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60（ ）．
把 代入 ，得y=55×60—800=2500．
所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（ ）．
23. 解⑴抽取1名，恰好是女生的概率是 ．
⑵分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有：（男1，男2），（男1，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，男3），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2），共10种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足抽取2名，恰好是1名男生和1名女生（记为事件A）的结果共6种，所以P（A）= ．
24.解：⑴当x=0时， ．
所以不论 为何值，函数 的图象经过 轴上的一个定点（0，1）．
⑵①当 时，函数 的图象与 轴只有一个交点；
②当 时，若函数 的图象与 轴只有一个交点，则方程 有两个相等的实数根，所以 ， ．
综上，若函数 的图象与 轴只有一个交点，则 的值为0或9．
25.在 中， ＝ ．
∴EC＝ ≈ （ ）．
在 中，∠BCA＝45°，∴
在 中， ＝ ．∴ ．∴ （ ）．
答：电视塔高度约为120 ．
26.解⑴直线 与⊙P相切．
如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，
∴ ．∵P为BC的中点，∴PB=4cm．
∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．
∴ ,即 ，∴PD =2.4(cm) ．
当 时， (cm)
∴ ，即圆心 到直线 的距离等于⊙P的半径．
∴直线 与⊙P相切．
⑵ ∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．∴ ．
连接OP．∵P为BC的中点，∴ ．
∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切．
∴ 或 ，∴ =1或4．
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．
27. 解⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴ ，∴CD=BD．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似点．
⑵①作图略．
作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴ ， ．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴ ．∴该三角形三个内角的度数分别为 、 、 ．
28. 解⑴① ， ， ，2， ， ， ．
函数 的图象如图．
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当 时， 随 增大而减小；当 时, 随 增大而增大；当 时函数 的最小值为2．
③
=
=
=
当 =0，即 时，函数 的最小值为2．
⑵当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值为 ．
第2个回答 2012-03-21
2011年南通中考数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（ ）
A．－20m B．－40m C． 20m D．40m
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算327 的结果是（ ）
A．±33 B．33 C．±3 D．3
4．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．3,8,4 B．4,9,6 C．15,20,8 D．9,15,8
5． 已知：如图，AB ∥ CD，∠DCE=80 ° ，则∠BEF的度数为（ ）
A．120 ° B．110 °
C．100 ° D．80 °
6．下列水平旋转的几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
7．已知3是关于x的方程x2－5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（*）
A．－2 B．2 C．－5 D．6
8．如图，⊙ O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙ O的半径等于（*）
A．8 B．4 C．10 D．5
9．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20千米．他们前进的路程为s（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：小时），甲、乙前进的路程与时间的函数图像如图所示，根据图像信息，下列说法正确的是（*）
A．甲的速度 4千米/小时
B．乙的速度 10千米/小时
C．乙比甲晚出发1小时
D．甲比乙晚到B地3小时
10．设m ＞ n ＞ 0, m2+n2=4mn,则m2－n2mn 的值等于（*）
A．23 B．3 C．6 D．3
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知∠α ° ，则∠α的余角等于 度．
12．计算：8 －2 = ．
13．函数y=x+2x－1 中，自变量x的取值范围是 ．
14．七位女生的体重（单位：Kg）分别是36、42、38、42、35、45、40，则这七位女生的体重的中位数为 Kg．
15．如图，矩形纸片A BCD，AB=2cm，点E在BC上，且AE=EC，若将纸片折叠，点B恰好与AC上的点B′重合,则AC= cm．
16．分解因式：3m(2x－y)2－3mn2= ．
17．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ ACB=30 ° ，点D测得∠ ADB=60 ° ，又CD=60m，则河宽AB为 m（结果保留根号）．
18．已知：如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上，并与直线y=33 x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1=1时，r3=
三．解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（本小题满分10分）
（1）计算：22+(－1)4+(5 －2)0－︱－3︱
（2）先化简，再求值：
（4ab3－8a2b2）÷ 4ab+(2a+b)(2a－b)，其中a=2，b=1．
20．(本小题满分8分)
求不等式组3x－6≥x－42x+1＞3(x－1) 的解集，并写出它的整数解．
21．（本小题满分9分）
某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类）并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）参加调查的学生共有 人；在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为 度
（2）将条形图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有 人．
22．（本小题满分8分）
如图，AM为⊙ O的切线，A为切点，BD ⊥ AM于点D，BD交⊙ O于点C，OC平分∠ AOB．求∠ B的度数．
23．（本小题满分8分）
列方程解应用题：
在社区全民健身活动中，父子俩参加跳绳比赛，相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，父亲、儿子每分钟各跳多少个？
24．（本小题满分8分）
比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点．
例如 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．
它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．
请你再写出它们的两个相同点和两个不同点．
相同点：（1） （2）
不同点：（1） （2）
25．（本小题满分9分）
光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测，某次检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力．
（1） 求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；
（2） 求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．
26．（本小题满分10分）
已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将△ FOE绕点O逆时针旋转α角得到△ F′OE ′（如图2）．
（1） 探究AE ′与BF ′的数量关系，并给予证明；
（2） 当α=30 ° 时，求证：△AOE′为直角三角形．
27．（本小题满分12分）
已知A（1，0），B（0，－1），C（－1，2），D（2，－1），E（4，2）五个点，抛物线y=a(x－1)2+k(a ＞ 0),经过其中三个点．
（1） 求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a(x－1)2+k(a ＞ 0)上．
（2） 点A 抛物线y=a(x－1)2+k(a ＞ 0)上吗？为什么？
（3） 求a与k的值．
28．（本小题满分14分）
如图，直线l经过点A（1，0），且与曲线y=mx (x ＞ 0)交于点B（2，1），过点P（p，p－1）（p ＞ 1）作x轴的平行线分别交曲线y=mx (x ＞ 0)和y=－mx (x ＜ 0)于M、N两点．
（1） 求m的值及直线l的解析式；
（2） 若点P在直线y=2上，求证：△PMB ∽ △PNA；
（3） 是否存在实数p，使得S△AMN=4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
2011年南通中考数学试题参考答案
1-10：B.C.D.A.C.B.B.D.C.A.
11.70
12.2
13.x≠1
14. 40
15.4
16.3m(2x-y+n)(2x-y-n)
17.303
18.9.
19.（1）3 （2）4a²-2ab, 12.
20.1≤x＜4, 整数解为：1、2、3
21.（1）300 36 （2）略 （3）800
22.60度
23.父亲每分钟跳120个，儿子每分钟跳140个
24.正五边形的各内角相等，正六边形各内角相等；
正五边形是轴对称图形，正六边形也是轴对称图形.
正五边形不能密铺，正六边形可以密铺；
正五边形的各边不平行，正六边形的对边平行.
25.1/4， 1/2
26.（1）用边角边证明△AOE’和△BOF’全等，即可证得AE’=BF’
(2)取OE’的中点G,得到等边△AOG，等到∠AGO=60°，又由AG=E’G得到∠AE’O＝30°，从而得到∠OAE’是90°，即为直角三角形。
27．解：
（1）假设C、E同时在抛物线y=a(x－1)2+k(a ＞ 0)上，则有：
a(－1－1)2+k=2a(4－1)2+k=2 ,化简后即：4a+k=29a+k=2 ,解得a=0k=2 ,很显然，当a=0时，y=a(x－1)2+k即y=2就不再是抛物线了，而是一条直线．所以C、E不可能同时在抛物线y=a(x－1)2+k(a ＞ 0)上．
（2）假设点A在抛物线y=a(x－1)2+k(a ＞ 0)上，可以求得k=0．因为此抛物线还得同时经过B、C、D、E四个点中其中两个，分别把B、C、D、E四个点的坐标代入此抛物线的解析式分别求得a的值分别为：
B：a=－1;C:a=12 ;D:a=－1;E:a=29 其他两个在抛物线上的点求出来的a的值应该相同，所以只有B、D在抛物线上，但是题目要求a ＞ 0，因此，点A不可能在此抛物线上．
（3）由（1）（2）可知，可能有两种情况：①此抛物线经过点B、点C、点D②此抛物线经过点B、点D、点E．
①假如此抛物线经过点B、点C、点D成立，将此三点坐标代入此抛物线的解析式可得：
－1=a(0－1)2+k2=a(－1－1)2+k－1=a(2－1)2+k
解得：a=1k=－2
①假如此抛物线经过点B、点D、点E成立，将此三点坐标代入此抛物线的解析式可得：
－1=a(0－1)2+k－1=a(2－1)2+k2=a(4－1)2+k
解得：a=38k=－118
以上两组答案都符合题意．
28．解：
（1）因为点B（2，1）在此曲线y=mx (x ＞ 0)上，将点B（2，1）代入y=mx 求得m=2．
设直线l的解析式为y=kx+b，因为直线l过A（1，0）和B（2，1），将这两个点的坐标代入直线l的解析式y=kx+b，得到：
k+b=02k+b=1 ，由此解得：k=1b=－1 ，
所以直线l的解析式为：y=x－1．
（2）点P在y=2上，即p－1=2，p=3, 所以点p的坐标为（3，2）．
因此点P在直线l：y=x－1上，即点P是直线y=2与直线y=x－1的交点．
由y=2与y=2x ， y=－2x 易求出M（1，2），N（－1，2），
所以PM=2，PB=2 ,PN=4，PA=22 ,
PMPB =22 =2 ,PNPA =422 =2
即PMPB =PNPA
在△PMB和△PNA中，
PMPB=PNPA∠MPB=∠NPA（公共角）
所以△PMB ∽ △PNA．
（3）假设存在满足条件的实数p，也就是存在满足条件的点P（p,p－1）．由M（1，2），N（－1，2），A（1，0）易求出:
S△AMN=12 × 2 × 2=2．
由图可知，S△APM=12 •AM•（p－1）=12 × 2×（p－1）= p－1,
因此，由S△AMN=4 S△APM可得：2=4（p－1），
解得：p=32 ＞ 1,符合题意．
所以存在实数p，使得S△AMN=4 S△APM．