设A是3阶实对称矩阵，秩为2，若A^2=A,则A的特征值为？详细解析

Question

如题所述

Answer 1

秩为2，也就意味着3阶实对称矩阵A有两个不同的特征值，其中一个是重特征值。
A^2=A A^2-A=0 λ^2-λ=0 λ(λ-1)=0 λ=0或者λ=1
当λ=0为矩阵A的二重特征根时，λ1=λ2=0 ，λ3=1，但此时矩阵A的秩为1，所以不成立。
当λ=1为矩阵A的二重特征根时，λ1=λ2=1，λ3=0，此时矩阵A的秩为2，符合题意。

Answer 2

设λ是A的特征值
则 λ^2-λ 是A^2-A 的特征值
而 A^-A=0, 零矩阵的特征值只能是0
所以 λ^2-λ=0
所以 λ=0 或 1
即 A 的特征值只能是0,1

又由已知A是实对称矩阵, 故A可对角化, 对角线元素由0,1组成
再由 r(A)=2, 所以 A 的特征值为 1,1,0.本回答被提问者采纳

Answer 3

设p是a的任一特征值，a是a属于p的特征向量，于是有
(a^4-3a^3+3a^2-2a)a=(p^4-3p^3+3p^2-2p)a=0，即
p(p-2)(p^2-p+1)=0
因为实对称矩阵特征值必为实数，所以a的特征值只能是0或2，又因为必可对角化，故特征值为
2(2重),0(n-r重)

Answer 4

实对称矩阵一定可对角化的。