如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD ∥ BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD ∥ BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C-PD-O的余弦值的大小．

证明：

（1）∵PA=PB=，O为AB中点，
∴PO⊥AB
∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO?侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC² =OB² +BC² =2
在Rt△OAD中，OD² =OA² +AD² =10

在直角梯形ABCD中，CD² =AB² +（AD-BC）² =8
∴OC² +CD² =OD² ，
∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线
∴CD⊥平面POC…（6分）
（2）如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P（0，0，2

），D（-1，3，0），C（1，1，0）
∴

=（0，0，2

），

=（-1，3，0），

=（-1，-1，2

），

=（-2，2，0）
假设平面OPD的一个法向量为

=（x，y，z），平面PCD的法向量为

=（a，b，c），则
由

可得

z=0

-x+3y=0

，令x=3，得y=1，z=0，则

=（3，1，0），
由

可得

-a-b+2

c=0

-2a+2b=0

，令a=2，得b=2，c=

，
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第1个回答推荐于2018-04-07

（1）由已知求得：OC=√2，OD=√10，CD=√8

所以：OD²=OC²+CD²

所以：△OCD是RT△

所以：CD⊥OC

而：PO⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，且AB是两平面的交线

所以：PO⊥平面ABCD

而：直线CD在平面ABCD上

所以：CD⊥PO

而：PO∩OC=O

所以：CD⊥平面POC

(2)如图

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