数学二面角题目

Question

如图，已知四棱椎S―ABCD的底面ABCD是棱形，∠BAD=60度，且SA=SB=SD=AB。
（1）求证:在四棱椎S-ABCD中AB⊥SD。
（2）求直线SB与S平面SCD所成的角的大小

Answer 1

1、∵SA=SB=SD，

∴其射影相等，

设S在平面ABCD射影为O，

则AO=BO=CO，

∵〈BAD=60°，

AD=AB，

∴△ABD是正△，

BD=AB=AD，

∴四面体S-ABD是正四面体，

而正四面体对棱互相垂直，

∴AB⊥SD，

具体证明：连结AO，交AB于E，

∵O是正△ABD垂心，（外、内），

∴SE⊥AB，

而DO是SD在平面ABCD上的射影，

根据三垂线定理，

∴AB⊥SD。

若不用三垂线，则因E是AB中点，连结SE，

∵SA=SB，

∴SE⊥AB，

AB⊥SE，AB⊥DE，

AB⊥平面SED，

SD∈平面SED，

∴SD⊥AB。

2、设AB=BC=CD=AD=1，SO=√（SA^2-AO^2),

AO=（√3/2）*2/3=1/√3，（正三角形高为边长的√3/2，根据重心性质，距顶点距离是中线的2/3），

设AC交DB于Q，

OQ=AO/3，（重心的性质）

∴SO=√（1-1/3）=√6/3，

CO=√3/2+√3/6=2√3/3，

∴SC=√（SO^2+CO^2)=√2，

SB=BC=1，DC=SD=1，

根据勾股定理逆定理，△SBC和△SDC都是等腰RT△，

取SC中点M，连结BM、DM，

则BM⊥SC，DM⊥SC，

∴〈BMD是二面角B-SC-D的平面角，

BM=DM=SC/2=√2/2，

BD=1，

同上理，

BM^2+DM^2=1/2+1/2=1,

BD^2=1,

∴△BMD也是等腰RT△，

∴<BMD=90度，

∴SB与平面SCD所成的角的大小为90度。

Answer 2

你那个p就是s吧：
解：（1）连接BD，因为角BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，作DM⊥AB于M，连接PM，又PA=PB=AB，所以△PAB是等边三角形，故DM⊥AB，PM⊥AB，∴AB⊥平面PDM，所以AB⊥pD。
（2）（第一题中辅助线仍然保留）在△PDM中，作PK⊥DM于K，易得PK⊥平面ABCD，又由题目条件，可得菱形四条边等于PA, PB,PC,PD,设长度为a，△PDM中，PD=a，PM=DM=（根号三）/2倍的a，算的PK=（根号2）/(根号3)倍的a,所以P-BCD的体积为(根号2)/12倍a三次方,又△PDC面积=(根号3)/4倍a平方,可得B到平面PDC距离为=（根号2）/(根号3)倍的a,设所求角为θ,易得sinθ=(根号6)/3,在用反三角函数表示即可.
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