在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（

Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

【解析】
（1）根据抛物线与x轴的交点A与C坐标设出抛物线的解析式方程，将B坐标代入即可确定出解析式；
（2）过M作x轴垂线MN，三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积-三角形AOB面积，求出即可；
（3）根据题意设p（a，
1
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a2+a-4），则Q（a，-a），分三种情况分别讨论即可求得．
【解答】
(1)设抛物线解析式为y=a(x+4)(x−2)，
将B(0,−4)代入得：−4=−8a,即a=12，
则抛物线解析式为y=12(x+4)(x−2)=12x2+x−4；

(2)过M作MN⊥x轴，
将x=m代入抛物线得：y=12m2+m−4,即M(m,12m2+m−4)，
∴MN=|12m2+m−4|=−12m2−m+4，ON=−m，
∵A(−4,0),B(0,−4)，
∴OA=OB=4，
∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB−S△AOB=12×(4+m)×(−12m2−m+4)+12×(−m)×(−12m2−m+4+4)−12×4×4=2(−12m2−m+4)−2m−8=−m2−4m=−(m+2)2+4，
当m=−2时，S取得最大值，最大值为4；
(3)如果使以点P、Q、B. O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥AB)，则PQ=OB，
设p(a,12a2+a−4),则Q(a,−a)，如图，

①当点P在点Q上面时,则12a2+a−4−(−a)=4，
解得a=−2+25√或a=−2−25√，
∴Q1(−2+25√,2−25√),Q2(−2−25√,2+25√).
②当点Q在点P上面时,−a−(12a2+a−4)=4，
解得a=0或a=−4，
∴Q3(−4,4)；
③当OB是对角线时,∵Q3(−4,4),∴P3(−4,0)，
∴P4(4,0)，
∴Q4(4,−4)，
∴P、Q、B. O为顶点的四边形为平行四边形,相应的点Q的坐标为(−4,4)或(−2+25√,2−25√)或(−2−25√,2+25√),(4,−4).
OK